Es ist doch V = Kern(π)⊕Bild(π)
Also gilt für alle Vektoren v einer Basis von v:
v∈ Kern(π) oder v∈ Bild(π)
Die Basisvektoren im Kern sind alle Eigenvektoren zum Eigenwert 0,
denn es gilt v≠0 (wegen Basisvektor) und π(v) = 0*v wegen Kern.
Für v∈ Bild(π) gilt: Es gibt ein w∈V mit v=π(w) , also
wegen π •π=π gilt dann π(v) = π(π(w)) = π(w) = v = 1*v
Also sind es alles Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
Somit gibt es eine Basis aus lauter Eigenvektoren.
==> π ist diagonalisierbar .