Zeigen Sie, dass jeder Endomorphismus π diagonalisierbar ist.

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlichdimensionaler K-VR und sei π ∈ End(V) mit π •π=π

Zeigen Sie, dass jeder Endomorphismus π diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

Es müssen zwei Bedingungen erfüllt werden. Die Abbildung hat die EW 1und 0 und π=id gesetzt. Ich bekomme \( x^{2} \)-1 raus und damit drei Fälle,((x+1)(x-1),(x+1) und (x-1)) leider komme ich nicht darauf wie ich die Diagonalisierbarkeit zeige.

λ₁=1,λ₂ =-1

μ(Pπ,λ)=dim(eig(π,λ))

Answer 1

Es ist doch V = Kern(π)⊕Bild(π)

Also gilt für alle Vektoren v einer Basis von v:

v∈ Kern(π)  oder  v∈ Bild(π)

Die Basisvektoren im Kern sind alle Eigenvektoren zum Eigenwert 0,

denn es gilt v≠0 (wegen Basisvektor) und π(v) = 0*v wegen Kern.

Für v∈ Bild(π) gilt: Es gibt ein w∈V mit v=π(w) , also

wegen π •π=π gilt dann  π(v) = π(π(w)) =  π(w) = v = 1*v

Also sind es alles Eigenvektoren zum Eigenwert 1.

Somit gibt es eine Basis aus lauter Eigenvektoren.

==>   π ist diagonalisierbar .