Gewöhnliche Differentialgleichung (x^2-xy) dy/dx +y^2=0

Question

Aufgabe:

Wie kann man diese DGL lösen :

(\( x^{2} \) - \( xy \))\( y' \) + \( y^{2} \) = 0

Comments

Hallo,

(x^2-xy)y'+y^2=0 | -y^2

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Ich denke, diese Transformation "-y^{2}/  (x^{2}-xy)  → -y^{2}/x^{2} +y/x " ist nicht korrekt.

Wie sind Sie auf diese Form gekommen?

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Stimmt , klar

Answer 1

Hallo,

Setze :

z=y/x

y=z *x

y' =z+z'x

in die DGL einsetzen:

Ich bekomme dann:

(x^2-zx^2) (z+z' x) +y^2=0

x^2 *z +z'x^3 -zz'x^3=0

x^2 z +x^3 z'(1-z)=0

x^3 z'(1-z)= - x^2 z |:x^2

x z'(1-z)= -z

Lösung via Trennung der Variablen:

((1/z)-1)dz= - dx/x

ln|z| -z = -ln|x|+C ->Resubstitution: z=y/x

Lösung:

ln|y/x| -y/x= -ln|x| +C