das folgende Integral von K berechnen

Question

Es sei

$$ K:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \wedge z \geq 0\right\} $$
die Halbkugel um den Ursprung mit Radius \( R=1 \). Berechnen Sie das folgende Integral:
$$ \int \limits_{K} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d(x, y, z) $$

Answer 1

Aloha :)

Wir wählen zur Berechnung des Integrals Kugelkoordinaten.$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;\;;\;\;\varphi\in[0;2\pi]\;\;;\;\;\vartheta\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$Beachte bitte, dass das Intervall für den Winkel \(\vartheta\) bereits so eingeschränkt ist, dass \(z\ge0\) gilt. Das Integral wird sehr einfach, weil das Volumenelement in Kugelkoordinaten den Faktor \(r^2\) enthält$$dV=r^2\,\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$und dieser proportional zur Ableitung des Exponenten ist:

$$I=\int\limits_Ke^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}dV=\int\limits_0^1dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,e^{(r^2)^{3/2}}\,r^2\sin\vartheta$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1 r^2e^{r^3}\,dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}\sin\vartheta\,d\vartheta=\left[\frac{1}{3}e^{r^3}\right]_0^1\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\cos\vartheta\right]_0^{\pi/2}$$$$\phantom{I}=\left(\frac{e}{3}-\frac{1}{3}\right)\cdot(2\pi-0)\cdot(-0+1)=\frac{2}{3}\pi(e-1)$$

Answer 2

Hallo

ich denke nicht, dass du diese Integral also  über e^{r^3} analytisch lösen kannst, das gibt die Gammafunktion denn eigentlich sollte man das wohl in Kugelkoordinaten lösen.

Ist das wirklich so gefragt?

lul