Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen

Question

a) Berechne die Ableitung der Funktion f mit f(x) = 1/2x^2-1 an der Stelle x von 0 = -2 als Grenzwert des Differenzenquotienten.

b) Berechne die Ableitung der Funktion f mit f(x) = 3x^2-2x an der Stelle x von 0 = 3 als Grenzwert des Differenzenquotienten.

Comments

Zuerst schlage nach, wie man den Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet.

Wenn Du das gefunden hast (siehe Schulbuch) , können wir konkret weiterechnen.

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f(x von 0 + h) - f(x von 0)/h

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\left(\frac{1}{2}(x_0+h)^2-1\right)-\left(\frac{1}{2}x_0^2-1\right)}{h}=\frac{\frac{1}{2}(x_0+h)^2-\frac{1}{2}x_0^2}{h}$$$$=\frac{\frac{1}{2}(x_0^2+2x_0h+h^2)-\frac{1}{2}x_0^2}{h}=\frac{\frac{1}{2}(2x_0h+h^2)}{h}=\frac{x_0h+\frac{h^2}{2}}{h}=x_0+\frac{h}{2}\to x_0$$An der Stelle \(x_0=-2\) ist der gesuchte Differentialquotient daher \(-2\).

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\left(3(x_0+h)^2-2(x_0+h)\right)-\left(3x_0^2-2x_0\right)}{h}$$$$=\frac{3(x_0+h)^2-2(x_0+h)-3x_0^2+2x_0}{h}=\frac{3(x_0+h)^2-3x_0^2-2h}{h}$$$$=\frac{3(x_0^2+2x_0h+h^2)-3x_0^2-2h}{h}=\frac{6x_0h+3h^2-2h}{h}$$$$=6x_0-2+3h\to6x_0-2$$An der Stelle \(x_0=3\) ist der gesuchte Differentialquotient daher \(16\).

Comments

Damit schädigst du wohl deine gigantische "Beste Antwort - Quote" ein wenig  :-)

Aber Kai freut sich!