Ableitung mit Grenzwert des Differenzenquotienten

Question

Aufgabe:

Bestimme f '(1) von der Funktion f(x) = x² +x-2 durch die Bestimmung von dem Grenzwerts des Differenzenquotienten.

Problem/Ansatz:

Grundsätzlich verstehe ich zwar, dass die Ableitung von der Funktion 2x+1 bzw. 2+1 wäre, wenn man für x = 1 einsetzt.

Aber wie geht man den anderen Weg, der in der Aufgabe gefordert wird?

Answer 1

\( \frac{d}{dx}f(x) = \lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \)

\( \lim\limits_{h\to0} \frac{[(x+h)^2+(x+h)-2]-[x^2+x-2]}{h} = \)

\( \lim\limits_{h\to0} \frac{x^2+2xh+h^2+x+h-2-x^2-x+2}{h} = \)

\( \lim\limits_{h\to0} \frac{2xh+h^2+h}{h} =  \lim\limits_{h\to0} \frac{2xh}{h} + \frac{h^2}{h}  + \frac{h}{h} = \)

\( 2x + \lim\limits_{h\to0} h + 1 = 2x+1 \) → \( \frac{d}{dx}f(1) = 3 \)