Eine Matrix \(A\in \mathbb{R}^{3\times 3}\) heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix \(D\) ist. Also, wenn ein \(S\in \text{GL}_3(\mathbb{R})\) exisitiert, so dass \(D=B^{-1}AB\) eine Diagonalmatrix ist.
Du kannst dieses Problem in ein Eigenwertproblem übertragen:$$B^{-1}AB=D=\begin{pmatrix}\lambda _1&0 & \cdots & 0\\0&\lambda_2&\ddots & \vdots \\\vdots &\ddots&\ddots&0\\0& \cdots&0&\lambda_n \end{pmatrix} \implies A=BDB^{-1}$$$$ABe_i=B(De_i)=\lambda_i\underbrace{Be_i}_{=:x_i}\implies Ax_i=\lambda_ix_i \quad ,\, x_i\neq0$$ Wir berechnen also zu Beginn die Eigenwerte von \(A\):$$\chi_A(\lambda)=\det (A-\lambda E)=-\lambda^3+6\lambda^2-\lambda-14\overset{!}=0$$
Faustregel: In den meisten Beispielen, die du rechnen wirst, liegt ein Eigenwert auf der Hauptdiagonale oder der Eigenwert ist Null, so auch hier.
Eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms \(\chi _A\) ist \(\lambda_1=2\). Du kannst nun eine Polynomdivison durchführen, um auf \(-\lambda^2+4x+7=0\) zu kommen. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen \(\lambda_{2,3}=2\pm \sqrt{11}\).
Tipp zur Überprüfung der Korrektheit der Eigenwerte:
Es lässt sich zeigen, dass die Spur von \(A\) (das ist die Summe der Hauptdiagonalenelemente) der Summe der Eigenwerte entspricht. Es gilt:\(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=6=-1+2+5=\operatorname{spur}(A)\) Das stimmt.
Eigenräume zu den Eigenwerten berechnen:
Für \(\lambda=2\) gilt:$$\text{Eig}_A(2)=\ker \left(\begin{array}{ccc} -3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right)=\left \langle \begin{pmatrix} 1\\-3\\1 \end{pmatrix}\right \rangle$$ Für \(\lambda=2+\sqrt{11}\):$$\text{Eig}_A(2+\sqrt{11})=\ker \left(\begin{array}{ccc} -3-\sqrt{11} & -1 & 0 \\ -1 & -\sqrt{11} & 1 \\ 0 & 1 & 3-\sqrt{11} \end{array}\right)=\left \langle \begin{pmatrix} -10+3\sqrt{11}\\-3+\sqrt{11}\\1\end{pmatrix}\right \rangle$$ Den dritten Eigenvektor (d. h. den zu \(\lambda_3\)) erhältst du, da \(A\) symmetrisch ist, über das Kreuzprodukt der beiden vorher errechneten Eigenvektoren. Also:$$\text{Eig}_A(2-\sqrt{11})=\left \langle \begin{pmatrix} -10-3\sqrt{11}\\-3-\sqrt{11}\\1 \end{pmatrix}\right \rangle$$ Insgesamt gilt dann, dass \(B=\begin{pmatrix} 1& -10-3\sqrt{11}& -10+3\sqrt{11}\\ -3& -3-\sqrt{11}& -3+\sqrt{11}\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0& 2-\sqrt{11} & 0 \\ 0 &0 & 2+\sqrt{11} \end{pmatrix}\). Die Inverse der Transformationsmatrix zu berechnen, überlasse ich dir!
