bei der 1c) hab ich mir nicht sicher. Am x A-m ist ja En. Also ja die Einheitsmatrix.
Das heißt ich könnte ja bei der Berechnung der Inversen statt die Einheitsmatrix das Produkt Am x A-m hinschreiben:
Normalerweise:
(Am | En ) → (Gauß) (En | (Am)-1)
Meine Vermutung nun:
(Am | Am x A-m ) → (Gauß) (Am x A-m | (Am)-1)
Wäre das die Lösung der Aufgabe? Oder hab ich was ausgelassen?
Zur 2a)
Meine Idee wäre jetzt mit dem homogenen LGS anzusetzen (lineare Unabhängigkeit beweisen). Als Lösung kommt ja
a = 0
raus. D.h. die Spalten(vektoren) müssten linear unabhängig sein. Demnach müsste es ja bei linearer Unabhängigkeit eine Inverse zur Matrix geben, oder?
Zur 2b)
Würde ich da die Inverse berechnen wollen, müsste ich ja wieder ein LGS aufstellen, auf dessen rechter Seite die Einheitsmatrix steht:
(D | En ) → (Gauß) (En | D-1 )
Dafür müsste ich ja alle x in D eliminieren. Folglich hätte ja dann jede Matrix D' unabhängig von x dieselbe Inverse. Wäre das nicht ein Widerspruch? (Verletzung der Injektivität und folglich Bijektivität) Würde das als Begründung reichen, oder hat D tatsächlich eine Inverse?
Zur 3a)
Hier reicht's doch schon zu zeigen, dass die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, oder?
Zur 3b)
Also normalerweise stehen ja die Bilder der Vektoren (in dem Fall kanonischen Basisvektoren) in den Spalten der Darstellungsmatrix.
Da kriege ich dann
f(e1) = (0,1,1,1)
f(e2) = (2,0,0,1) und
f(e3) = (0,1,0,1) raus.
Meine Darstellungsmatrix wäre also:
Jetzt irritiert mich das mit M(f) = M
B,C(f).
Heißt das etwa, dass es
eine Darstellungsmatrix für beide Basen gibt, oder jeweils eine für jede?
Wie ist das jetzt mit der Darstellungsmatrix bzgl zur Basis C? Die Abbildung f hat ja kein x
4 als Parameter zur Verfügung.
Wie gehe ich in dem Fall vor? Einfach einsetzen?
Zur 3c)
Was genau ist mit MB,B'(Id) bzw. MC,C'(Id) gemeint? Die Abbildung selbst, oder wie? Ist doch dann dasselbe wie in der 3b) oder wie? Bloß dass ich die Inversen noch mit berechne...
