Matrixpotenz im Fp - Vektorraum

Question

Aufgabe:

\[A=\left(\begin{array}{ccc}\overline{0} & \overline{2} & \overline{2} \\\overline{1} & \overline{1} & \overline{2} \\\overline{2} & \overline{1} & \overline{0}\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}\left(\mathbb{F}_{3}\right)\]Berechnen Sie \( A^{1000000} \)

Problem/Ansatz:

Wie man eine hohe Matrixpotenz berechnet, ist mir bewusst. Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe wie man im Fp -Vektorraum rechnet. Wäre nett, wenn mir dass jemand anhand der Aufgabe erklären könnte.

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Comments

Tipp: In diesem Körper gilt A^2+A=0.

Answer 1

Es ist ja A^2 (Ich schreibe mal erst nur den Vertreter der Klassen auf,

der sich beim Rechnen in Z ergibt.)

$$A^2=\begin{pmatrix} 6 & 4&4 \\ 5 & 5&4\\ 1 & 5&6 \end{pmatrix}$$
Wenn du das auf die "einfachen" Repräsentanten bringst:
$$=\begin{pmatrix} 0 & 1&1 \\ 2 & 2&1\\ 1 & 2&0 \end{pmatrix} $$

Das jetzt nochmal quadriert gibt

$$A^4=\begin{pmatrix} 3 & 4&1 \\ 5 & 8&4\\ 4 & 5&3 \end{pmatrix}$$
Wenn du das auf die "einfachen" Repräsentanten bringst:
$$=\begin{pmatrix} 0 & 1&1 \\ 2 & 2&1\\ 1 & 2&0 \end{pmatrix} $$

Also jedenfalls A^4 = A^2

Damit auch für jedes n ∈ℕ⁺ :

A^(4n) = A^(2n) . Also kurz:

Wenn der Exponent durch 4 teilbar ist, kannst du ihn durch

2 teilen ohne das Ergebnis zu verändern.

==> A^(1000000) = A^500000=A^250000=...=A^15625

= A^(15624+1) =A^(15624)*A = A^7812*A=^3906*A

=A^(3904+2)*A = A^(3904) *A^3 = A^1952*A^3  etc.

bis du bei kleinen Exponenten bist.