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Aufgabe:

Sei A∈ \( K^{n×n} \)

Bestimmen Sie ein Polynom p mit Grad deg(p) ≤ n − 1, sodass \( A^{n+1} \)  = p(A) ist.


Brauche Hilfe ich verstehe nicht wie man auf das Ergebnis kommen soll. Man muss das mit der Definition vom Satz von Cayley Hamilton machen, aber ich weiß nicht wie?

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ix vertippt ?

p(A) = A^n oder A^(n+1) ?

\( A^{n+1} \)

Das steht wirklich p(a)=\( A^{n+1} \), mich wundert das auch total...

1 Antwort

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Beste Antwort

Jetzt habe ich doch noch eine Idee:


Die Potenzen von A erzeugen einen Vektorraum mit einer Dimension

kleiner oder gleich n. Also gibt es für A^(n+1) eine Linearkombination

  x1*A + x2*A^2 + …. + xn*A^n  =   A^(n+1)     #

Andererseits ist das char. Polynom p von A vom

Grad n und es gilt  p(A) = 0

     =>    Es gibt mo, m1,...,mn aus K  mit

            mo*E +m1*A + m2*A^2 + ….. + mn*A^n = 0 ##

  Wegen grad=n ist  mn≠0 und somit lässt

sich ## nach A^n auflösen und bei #

einsetzen. Dann hat man bei # auf der

linken Seite ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich n-1.

Avatar von 289 k 🚀

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