Endomorphismen, Eigenwerte, CharPol, Cayley-Hamilton

Question

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Sei F ∈ End_K(V ) und sei p ∈ K[x]. Zeigen Sie: ist λ ∈ K ein Eigenwert von F, so ist p(λ) ein Eigenwert von p(F).

Ich glaube man muss den Satz von Cayley-Hamilton benutzen, aber ich bin mir nicht sicher und habe keine Idee...

Gruß

Shmiddow

Answer 1

\( p(x) \) habe die Form \( p(x) = \sum a_i x^i \). \( v \) sei ein Eigenvektor von \( F \) zum Eigenwert \( \lambda \).

Es ist \( p(F)v = \sum a_i F^iv = \sum a_i \lambda^i v = p(\lambda) v \).

Damit ist \( p(\lambda) \) ein Eigenwert von \( p(F) \) mit dem Eigenvektor \( v \).

MfG

Mister