Eigenwerte von Endomorphismen. Hilfe für Verständnis.

Question

Aufgabe:

(a) Sei f ∈ End(V ) nilpotent, d.h. es gibt d ∈ N≥1 mit f^d = 0 und f^d-1 ≠ 0. Welche sind
die möglichen Eigenwerte von f?

(b) Sei g ∈ End(V ). Zeigen Sie: Hat g²+g ∈ End(V ) den Eigenwert -1, so hat g3 ∈ End(V ) den Eigenwert 1.

(c) Seien F, G ∈ End(V ). Zeigen Sie: Ist v ∈ V ein Eigenvektor von F ◦G zum Eigenwert λ ∈ K und ist G(v) ≠ 0, so ist G(v) ein Eigenvektor von G ◦ F zum Eigenwert λ

Problem/Ansatz:

Bei mir besteht das Problem, dass ich Eigenwerte noch nicht so ganz verstanden habe. Ansätze wären hier besser als Lösungen, doch sind die hier wilkommen sollte dies zu meinen Verständnis von Eigenwerten und Charakteristischen Polynomen beitragen. Ich danke im voraus für alle Antworten.

Answer 1

e ist ein Eigenwert, wenn es ein v≠0 gibt mit f(v) = e*v

Dann ist ja f^2(v) = f(f(v)) = f(e*v) und wegen der Linearität

= e*f(v) = e*e*v = e^2 * v .

Und entsprechend f^d (v) = e^d * v und da v≠0 aber f^d(v)=0, muss e=0 sein.

Also einzig möglicher Eigenwert ist 0.

b) Du hast also v≠0 mit (g^2 + g )(v) = -v

==>   g (  (g^2 + g )(v) )  = g(-v)   =  - g(v)

<=> g^3(v) + g^2(v)  + g(v) = 0

<=> g^3(v) + (g^2  + g)(v) = 0

<=> g^3(v)     -v     = 0

<=>  g^3(v) = v = 1*v also Eigenwert 1.