Zeigen Sie folgende Aussagen: a(λ,ƒ) =a(λ,ƒ1) +a(λ,ƒ2) und g(λ,ƒ) =g(λ,ƒ1) +g(λ,ƒ2)

Question

Hi ich komme bei den beiden Aufgaben nicht weiter:( Kann mir jemand weiterhelfen ?

Seien V ein K-Vektorraum mit dim(V)∈ℕ und f∈ L(V,V). Sei weiter V=U₁⊕U₂ mit ƒ-invarianten Unterräumen U₁,U₂ von V. Definiere

ƒ_j:= ƒ|U_j ∈L(U_j,U_j), j= 1,2.

Für v∈V existieren eindeutige u₁∈U₁ und u₂∈U₂ mit v=u₁+u₂. Dann gilt

ƒ(v) =ƒ(u₁) +ƒ(u₂) =ƒ₁(u₁) +ƒ₂(u₂).

Wir schreiben hierfür ƒ=ƒ₁⊕ƒ₂ und nennen f die direkte Summe von ƒ₁ und ƒ₂ (bzgl. derZerlegung V=U₁⊕U₂). Zeigen Sie:

3.)  Für alle λ∈K gilt a(λ,ƒ) =a(λ,ƒ₁) +a(λ,ƒ₂).(Dabei definieren wir a(λ,h):= 0, wenn λ kein Eigenwert von h∈L(V,V) ist.)

4.)  Für alle λ∈K gilt g(λ,ƒ) =g(λ,ƒ₁) +g(λ,ƒ₂).(Dabei definieren wir g(λ,h):= dim(Kern(λid−h)), wenn λ kein Eigenwert von h∈L(V,V) ist.)