Hat φ^2+φ den Eigenwert -1 , so hat φ^3 den Eigenwert 1

Question

Aufgabe:

Sei \( \varphi \in \operatorname{End}(V) \). Hat \( \varphi^{2}+\varphi \) den Eigenwert -1 , so hat \( \varphi^{3} \) den Eigenwert 1 .

Problem:

Ich habe da nicht so wirklich einen Plan, wie ich dies zeigen soll?

End(V) ist ja der Endomorphismus eines Vektorraums V und die Eigenwerte erhält man normalerweise durch das charakteristische Polynom.

Danke für Hilfe im Voraus!

Answer 1

\( \varphi^{2}+\varphi \) hat den EW -1

==> Es gibt v∈V\{0} mit \(( \varphi^{2}+\varphi )(v) = -1 \cdot v \)

==>         \(    \varphi(  \varphi^{2}(v) +\varphi (v))  = \varphi(  -1 \cdot v)  \)

Wegen Linearität von \(    \varphi \)

==>   \(    \varphi^{3}(v) +\varphi^2 (v)  = -\varphi(  v)  \)

==>  \(    \varphi^{3}(v) +\varphi^2 (v) + \varphi(  v)  = 0 \)

Wegen \( \varphi^{2}+\varphi \) hat den EW -1

==>  \(    \varphi^{3}(v)  -1 \cdot v  = 0 \)

==>  \(    \varphi^{3}(v)  = v  \)

Also v Eigenvektor von \(    \varphi^{3}  \) zum EW 1.

Answer 2

Nutze die in End(V) geltende Gleichung

\(\varphi^3-id_V=(\varphi -id_V)(\varphi^2+\varphi+id_V)\)