Widerlege: Wenn f² den Eigenwert r² hat, hat f den Eigenwert r.

Question

die vollständige Aufgabe lautet:
Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum, s∈K und f∈L(V,V). Wir definieren f^k := f _° ... _° f (k-mal). Widerlegen Sie:
Wenn f² den Eigenwert r² hat, hat f den Eigenwert r.
Kann mir jemand dazu ein Gegenbeispiel sagen?

Answer 1

Sei f=id. f² hat den Eigenwert (-1)²=1, f nicht den Eigenwert -1.

Comments

Wieso hat f den Eigenwert -1? Es gilt doch für alle Vektoren v∈V: f(v)=v=1v oder nicht? Und nach Definition ist f² ja nicht f*f, sondern die Komposition von f und f. Also wäre f²(v)=f(f(v))=f(v)=v und damit hätte f² den gleichen Eigenwert wie f. Oder sehe ich das falsch?

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Gast jd137 hat geschrieben: "f nicht den Eigenwert -1". Deine Frage: "Wieso hat f den Eigenwert -1?"

Irgendwie verstehe ich die Frage nicht so ganz. ;-)

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Entschuldigung, ich hatte den Kommentar falsch verstanden. Jetzt leuchtet es mir ein. Besten Dank!

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Sei f=id. f² hat den Eigenwert (-1)²=1, f nicht den Eigenwert -1.

Ich verstehe diese Antwort nicht. f^2 hat den Eigenwert 1. Aber √1 = ±1, d.h 1 oder -1. 1 trifft auf f zu. Wegen ,,oder'' ist dann doch die Aussage immernoch wahr. Also warum soll jetzt id ein Gegenbeispiel sein?

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Es ist \( \sqrt{1} =1\). Du verwechselst es mit der Lösungsmenge {1,-1} der Gleichung x²=1.

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Warum hier nur 1?

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Das ist einer der prominentesten Schulzeitfehler. Beschränkt man sich auf die positiven reellen Zahlen, so ist die Wurzel einer solchen Zahl immer positiv, niemals negativ. Siehst du auch ganz leicht, wenn du \( f(x)=\sqrt{x} \) bei Google eingibst und den Graphen betrachtest. Das Wurzelziehen wird aber gern verwechselt mit dem Lösen einer quadratischen Gleichung \( x^2=y \). Um alle Zahlen \( x \) zu finden, die diese Gleichung erfüllen, muss man auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und erhält \( \sqrt{x^2} =\sqrt{y} \). Der springende Punkt hierbei: Es ist \( \sqrt{x^2}=|x| \) und nicht \( \sqrt{x^2}=x \). Man erhält also umgeformt die Betragsgleichung \( |x|= \sqrt{y} \) mit den Lösungen \( \sqrt{y} \) und \(- \sqrt{y} \).