Zeigen Sie: Ist λ ein Eigenwert von f, so ist P(λ) ein Eigenwert von P(f).

Question

Aufgabe:

Sei P ∈ K[T]. Zeigen Sie: Ist λ ein Eigenwert von f, so ist P(λ) ein Eigenwert von P(f). Dabei ist P(f) = ∑^r_i=0 a_ifⁱ ∈ End(V) für P =∑^r_i=0 a_iTⁱ.

es wäre sehr lieb, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Answer 1

P(λ) ist ein Eigenwert von P(f) heißt doch:

Es gibt ein v∈V\{0} mit  P(f)(v) =   P(λ)*v.

Und bedenke  f(v)=λ*v und   f^2(v) = f(f(v))= f(λ*v)

wegen Linearität von f :      = λ* f(v) =  λ* λ* v =  λ^2 * v

etc .

Sei P so wie oben beschrieben, dann rechne es aus:

P(f)(v)    Def. von P(f)  anwenden

=   \( ( \sum \limits_{i=0}^r a_i \cdot f^{i} ) (v) \)  Def: Linearkomb. von Abb'en anwenden

=   \( \sum \limits_{i=0}^r a_i \cdot f^{i}(v)  \)   (s.o:f^{i}(v)=λ^i * v

=  \(  \sum \limits_{i=0}^r a_i \cdot \lambda^{i} \cdot v  \)

=  \( ( \sum \limits_{i=0}^r a_i \cdot \lambda^{i}) \cdot v \)  = P(λ)*v. q.e.d.

Comments

dankeschön^^