Zeigen Sie, dass λ^k

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ K^(n×n) mit Eigenwert λ ∈ K. Sei k ∈ N.
(a) Zeigen Sie, dass λ^k ein Eigenwert von A^k ist. Ist umgekehrt µ ∈ K und µ^k
ein Eigenwert von A^k , ist dann auch µ ein Eigenwert von A?
(b) Sei A zusätzlich invertierbar. Zeigen Sie, dass λ^−1 ein Eigenwert von A^−1 ist. Was gilt für die zugehörigen Eigenräume Eλ(A) und Eλ−1 (A−1)?

Problem/Ansatz:

Hallo ,

Kann Bitte jamand mir bei dieser Aufgabe helfen , ich hab versucht aber schaffe leider nicht

Comments

Wo hast du denn Probleme?

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ich weiß was die Eigenwerte allgemein sind aber kann nicht beweisen .

Answer 1

a) \(A^nx=\lambda^nx\implies A^{n+1}x = AA^nx = A\lambda^nx=\lambda^nAx = \lambda^{n}\lambda x=\lambda^{n+1}x\).

b) \(Ax=\lambda x\implies x = A^{-1}Ax=A^{-1}\lambda x = \lambda A^{-1}x \implies \lambda^{-1}x=A^{-1}x\).

Comments

Danke ,

für welcher Teil ist das ?