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Aufgabe:

Cayley-Hamilton-Theorem: Wenn \( A \) eine \( n \times n \)-Matrix ist und das charakteristische Polynom von \( A \) gegeben ist durch

\( \det(A - \lambda I) = a_0 \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \lambda + a_n = 0 \)

dann erfüllt die Matrix \( A \) ihre eigene charakteristische Gleichung:

\( a_0 A^n + a_1 A^{n-1} + \ldots + a_{n-1} A + a_n I = 0 \)

Mit \( a_i \) die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.


Beweisen Sie diese Aussage für den Fall, dass A diagonalisierbar ist.


Problem/Ansatz:

\(A = PDP^{-1} \)

\( \det(A - \lambda I) = \det(PDP^{-1} - \lambda I) = \det(PD P^{-1} - \lambda PP^{-1}) = \det(P(D - \lambda I)P^{-1}) = \det(D - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)\)


Da \( A = PDP^{-1} \):

\( a_0 (PDP^{-1})^n + a_1 (PDP^{-1})^{n-1} + \ldots + a_{n-1} (PDP^{-1}) + a_n I \stackrel{?}{=} 0\)


Wie gehe ich jetzt vor?

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Vielleicht hilft, dass \({(PDP^{-1})}^n=PD^nP^{-1}\) ist.

1 Antwort

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Beste Antwort

Für den nächsten Schritt ist \((PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}\) hilfreich. Überleg Dir das mal für \(n=2\), Potenzieren ist eine Abkürzung für's Multiplizieren...

Avatar von 9,7 k

⇒  \(a_0 PD^nP^{-1} + a_1 PD^{n-1}P^{-1} + \ldots + a_{n-1} PDP^{-1} + a_n I \)

\( = P \left( a_0 D^n + a_1 D^{n-1} + \ldots + a_{n-1} D + a_n I \right) P^{-1} \)

Wir wissen, dass:

\(a_0 D^n + a_1 D^{n-1} + \ldots + a_{n-1} D + a_n I = 0 \)

Dann wird die Gleichung:

\( P \cdot 0 \cdot P^{-1} = 0 \)



\(\blacksquare \)

Ja, stimmt, aber der Schritt "wir wissen, dass:" wäre mir zu schnell. Woher kommt das?

\( \det(D - \lambda I) = a_0 \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \lambda + a_n = 0 \)

\(\Leftrightarrow(\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2-\lambda)\ldots(\lambda_n-\lambda) = 0 \)

Durch das Theorem wissen wir aber auch, dass nicht nur die Eigenwerte diese Gleichung erfüllen, sondern auch die Matrix selbst:
\(a_0 D^n + a_1 D^{n-1} + \ldots + a_{n-1} D + a_n I = 0 \)


Aber damit habe ich das Theorem selbst auf die Matrix D angewandt, um zu zeigen, dass es auch für die diagonalisierbare Matrix gilt. Ich bin mir nicht sicher, ob meine Erklärung so dann gültig ist.

Ja, eben, das darf man nicht benutzen. Es geht aber ohne weitere Theoreme. In \(D\) stehen ja die Eigenwerte in der Diagonalen. Wie sieht dann \(D^n\) aus, und damit die "wir wissen, dass..."-Gleichung?


\( D^n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_2^n & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda_n^n \end{pmatrix} \)

Daher:

\( \begin{pmatrix} a_0 \lambda_1^n + a_1 \lambda_1^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \lambda_1 + a_n & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_0 \lambda_2^n + a_1 \lambda_2^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \lambda_2 + a_n & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_0 \lambda_n^n + a_1 \lambda_n^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \lambda_n + a_n \end{pmatrix} \)

Auf der diagonalen sind dann die charakteristischen Polynome passend zu jedem Eigenwert. Wo wir wissen, dass diese 0 sind? Und somit haben wir die Nullmatrix?

Genau so ist es. Prima (auch die \(\LaTeX\)-Übung dabei ;-))

Danke dir :)

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