Stetigkeit mit Parametern

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\cos (x)-10 & \text { für } x \in(-\infty ; 0) \\ a x+b & \text { für } x \in[0 ; 1] \\ 9 \exp (x) & \text { für } x \in(1 ; \infty)\end{array}\right. \).

Kann mir da einer weiterhelfen ?

Problem/Ansatz:

Ich muss a und b finden, damit die Funktion stetig ist. Das Problem ist aber, dass keine der beiden "eindeutigen" Gleichungen einen genauen Grenzwert haben also weiß ich nicht wirklich wie ich da ansetzen soll.

Answer 1

Es gilt cos 0 = 1.

Der erste Term geht für x gegen 0 gegen den Wert 1-10, also gegen -9.

ax+b muss also an der Stelle 0 den Wert -9 annehmen.

Damit gilt b=9, und der mittlere Term ist ax+9 und hat an der Stelle 1 den Wert a+9.

Der dritte Term geht bei Annäherung an x=1 gegen den Wert 9e.

a muss nun im mittleren Term so gewählt werden, dass a+9 den Wert 9e annimmt.

Comments

Eigentlich voll die einfache Übung aber mir fehlte der gewisse Ansatz... Danke dir!