Funktion Stetigkeit mit Parametern

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Mit reellen Parametern a, b und \( c \) ist die folgende Funktion gegeben:
\( \left\{\begin{array}{cc}x & \text { für } 0 \leq x<1 \\ a \cdot x^{2}+b \cdot x+c & \text { für } 1<x \geq 2 \\ 0 & \text { sonst }\end{array}\right. \)
Bestimmen Sie die Parameterwerte so, dass \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) stetige Dichtefunktion einer Verteilungsfunktion \( \mathrm{F}(\mathrm{x}) \) ist; \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) muss also stetig sein, und es muss gelten:
\( \int \limits_{\mathbb{R}} f \cdot(x) \mathrm{d} x=1 \)

Text erkannt:

Mit reellen Parametern a, b und \( c \) ist die folgende Funktion gegeben:
\( \left\{\begin{array}{cc}x & \text { für } 0 \leq x<1 \\ a \cdot x^{2}+b \cdot x+v & \text { für } 1<x \geq 2 \\ 0 & \text { sonst }\end{array}\right. \)
Bestimmen Sie die Param eterwerte so, dass \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) stetige Dichtefunktion einer Verteilungsfunktion \( \mathrm{F}(\mathrm{x}) \) ist; \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) muss also stetig sein, und es muss gelten:
\( \int \limits_{\mathbb{R}} f \cdot(x) \mathrm{d} x=1 \)

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( \int \limits_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \ldots \)
\( \int 0 \mathrm{~d} x \ldots \)
\( \int 1 \mathrm{~d} x \)
\( \int \limits_{1}^{2} a \cdot x^{2}+b \cdot x+c \mathrm{~d} x \ldots \)
Lösung von \( \int 1 \mathrm{~d} x \) in Integral von \( a \cdot x^{2}+b \cdot x+c \) einsetzen.

Text erkannt:

Linksseitiger Grenzwert:
\( \lim \limits_{x \rightarrow 1}(x)=1 \)
Rechtsseitiger Grenzwert:
\( \lim \limits_{x \rightarrow 1}(0)=0 \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(a \cdot x^{2}+b \cdot x+c\right)=a+b+c \)
\( 1=a+b+c \)
\( a=b+c-1 \)
\( b=a+c-1 \)
\( c=a+b-1 \)

Kann mit jemand bei dieser Aufgabe helfen? Wie ich die Paramaterwerte a, b und c bestimme?

Gruß Jan

Answer 1

Hallo

richtig ist deine erste Gleichung für a,b,c

dann fehlt noch f(2)=0 für eine zweite Gleichung und

schließlich die dritte

$$ \int \limits_{0}^{1} xdx+\int \limits_{1}^{2}ax^2+bx+c dx=1$$

mit den drei erst hast du ein einfaches lineares GS für deine 3 Unbekannten

Das dann mit Gauss lösen

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

aus der Stetigkeit kann schon gefolgert werden, dass:

\(\lim\limits_{x \to 1}f(x)=1\) und \(\lim\limits_{x \to 2}f(x)=0\).

Dadurch erhält man:

\(a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=1\Rightarrow a+b+c=1\)

\(a\cdot 2^2+b\cdot 2+c=0\Rightarrow 4a+2b+c=0\)

Für die letzte Eigenschaft, dass \(\int \limits_{\mathbb{R}} f(x) \mathrm{~d} x=1 \) gelten muss, kann man das Integral aufteilen, wie du ja auch bereits bei "Problemlösung/Ansatz" geschrieben hast. Es ist von Vorteil, dass ein bestimmtes (beziehungsweise hier uneigentliches) Integral mit lediglich 0 als Integrandenfunktion erneut 0 ergibt. Daher erhält man:

 \(\int \limits_{\mathbb{R}} f (x) \mathrm{~d} x=\int \limits_{0}^{1} x \mathrm{~d} x + \int \limits_{1}^{2} a \cdot x^{2}+b \cdot x+c \mathrm{~d} x\\=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}a+\frac{3}{2}b+c=1\)

Damit hat man ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen:

\( I)~a+b+c=1 \\ II)~4a+2b+c=0\\ III)~\frac{7}{2}a+\frac{3}{2}b+c=\frac{1}{2} \)

Aufgelöst erhält man:

\(a=0;~b=-1;~c=2;\)

Beste Grüße,

FDF