sgn(z) Stetigkeit und unsteitigkeit prüfen

Question

Aufgabe:

sgn(z) Stetigkeit und unsteitigkeit zeigen

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Fall \( z_{0}>0 \) :
\( D_{a} \operatorname{sgn}(z)=1 \) für \( z>0 \), gelt aud \( \operatorname{sgn}\left(z_{0}\right)=1 \).
Siof. \( \delta=\frac{\epsilon}{2} \). Dam in \( \delta>0 \).

Es gill \( \left|2-7_{0}\right|<\delta \) and \( \left|2-7_{0}\right|<\varepsilon \)
\( \operatorname{sgn}(2)-\operatorname{sgn}(20)\left|=|1-1|=0<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\right. \)
\( \Rightarrow \operatorname{syn}(2) \) istristif fie alle Eentle \( 20>0 \).
fill \( 2<0 \) :
\( D_{a} \operatorname{sgn}(z)=-1 \) für \( z>0 \), gill aurd ign \( (z)=-1 \).
Si \( \delta=\frac{\varepsilon}{2} \). Dam in \( \delta>0 \).
Es giel \( \left|2-z_{0}\right|<\delta \) and \( \left|2-z_{0}\right|<\varepsilon \)
\( |\log (2)-\operatorname{spn}(20)|=|-1-(-1)|=0<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon \)
fall \( z_{0}=0 \)
\( \begin{aligned} & \left|\operatorname{sgn}(z)-\operatorname{sgn}\left(2_{0}\right)\right|<\varepsilon \\ \Leftrightarrow & |\operatorname{sgn}(z)-0|<\varepsilon=1 \end{aligned} \)

Verreinung van steriguit:
\( \begin{array}{l} \exists \varepsilon>0 \forall \delta>0 \quad \exists z \in \mathbb{R}: \\ \left(\left|z-z_{0}\right|<\delta \wedge\left|\operatorname{sgn}(2)-\operatorname{sgn}\left(z_{2}\right)\right| \geq \varepsilon\right) \end{array} \)
\( \operatorname{Sei} \varepsilon=\frac{1}{2} . \operatorname{Damn} \) is \( \varepsilon>0 \).
Es oill \( \left|2-7_{0}\right|<\delta \) und \( \left|2-z_{0}\right|<\varepsilon \).
\( |\operatorname{sg}(2)-f(20)|=|\operatorname{sg}(z)-0|=1>\frac{1}{2}=\varepsilon \)

Hallo, ist mein Beweis richtig? Bin mir im Fall z=0 relativ unsicher ob ich die verneinte Definition richtig angewendet hab

Answer 1

Bei Deiner vorigen Frage hab ich Dir ein Muster notiert für einen sauberen Stetigkeitsbeweis mit \(\varepsilon-\delta\). Hast Du nicht berücksichtigt, daher wieder unübersichtliches Vorgehen, und unnötig lang.

Wenn Du bei gegebenen Tipps was nicht verstehst, frag halt nach.

Von der Idee her Beweis in Ordnung. Mit Folgen wäre es einfacher.

Und "sgn(z) ist stetig..." ist falsch, richtig ist "sgn ist stetig..." (Unterschied Funktionswert/Funktion).