Question

Wieso gilt für eine Symmetriegruppe S_n, dass sgn(Id_n) = 1 ist?

Comments

Kennst du die Definition von sgn?

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Ich bin doof, wenn bei der Permutation alle Elemente auf sich selbst abgebildet werden, gibt es nur 1-er Zykel und dann gilt (-1)^g = (-1)⁰ = 1, wenn g die Anzahl der geraden Zykel ist, korrekt?

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Die Definition geht doch über die Anzahl der Fehlstände.

(i,j) heißt Fehlstand von σ wenn i<j und σ(i)>σ(j)

Für σ=id ist aber σ(k)=k für alle k

Also ist (i,j) ein Fehlstand von id wenn

i<j und i>j

Das ist offensichtlich nie erfüllt. Heißt 0 Fehlstände. Das Signum wird meist definiert als

(-1)^"Anzahl der Fehlstände"

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Aber man kann auch Zeigen: Lässt sich σ als Verkettung von n Transpositionen (Zyklus der Länge 2) schreiben so ist das Signum gerade (-1)^n

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Vielen Dank! Das ist natürlich eine weitaus bessere Definition. Wir haben nur die einfache Variante bekommen um es wenigstens berechnen zu können

Answer 1

Weil 0 eine gerade Zahl ist.

Answer 2

\(sgn:\; S_n\rightarrow \{\pm 1\}\) ist ein Gruppenhomomorphismus,
bildet also das neutrale Element \(id\in S_n\) auf das neutrale Element
\(+1\) der Gruppe \(\{\pm 1\}\) ab.