Cayley-Hamilton-Theorem für diagonalisierbare Matrizen

Question

Aufgabe:

Cayley-Hamilton-Theorem: Wenn \( A \) eine \( n \times n \)-Matrix ist und das charakteristische Polynom von \( A \) gegeben ist durch

\( \det(A - \lambda I) = a_0 \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \lambda + a_n = 0 \)

dann erfüllt die Matrix \( A \) ihre eigene charakteristische Gleichung:

\( a_0 A^n + a_1 A^{n-1} + \ldots + a_{n-1} A + a_n I = 0 \)

Mit \( a_i \) die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.

Beweisen Sie diese Aussage für den Fall, dass A diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

\(A = PDP^{-1} \)

\( \det(A - \lambda I) = \det(PDP^{-1} - \lambda I) = \det(PD P^{-1} - \lambda PP^{-1}) = \det(P(D - \lambda I)P^{-1}) = \det(D - \lambda I) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)\)

Da \( A = PDP^{-1} \):

\( a_0 (PDP^{-1})^n + a_1 (PDP^{-1})^{n-1} + \ldots + a_{n-1} (PDP^{-1}) + a_n I \stackrel{?}{=} 0\)

Wie gehe ich jetzt vor?

Comments

Vielleicht hilft, dass \({(PDP^{-1})}^n=PD^nP^{-1}\) ist.

Answer 1

Für den nächsten Schritt ist \((PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}\) hilfreich. Überleg Dir das mal für \(n=2\), Potenzieren ist eine Abkürzung für's Multiplizieren...

Comments

⇒  \(a_0 PD^nP^{-1} + a_1 PD^{n-1}P^{-1} + \ldots + a_{n-1} PDP^{-1} + a_n I \)

\( = P \left( a_0 D^n + a_1 D^{n-1} + \ldots + a_{n-1} D + a_n I \right) P^{-1} \)

Wir wissen, dass:

\(a_0 D^n + a_1 D^{n-1} + \ldots + a_{n-1} D + a_n I = 0 \)

Dann wird die Gleichung:

\( P \cdot 0 \cdot P^{-1} = 0 \)



\(\blacksquare \)

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Ja, stimmt, aber der Schritt "wir wissen, dass:" wäre mir zu schnell. Woher kommt das?

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\( \det(D - \lambda I) = a_0 \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \lambda + a_n = 0 \)

\(\Leftrightarrow(\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2-\lambda)\ldots(\lambda_n-\lambda) = 0 \)

Durch das Theorem wissen wir aber auch, dass nicht nur die Eigenwerte diese Gleichung erfüllen, sondern auch die Matrix selbst:
\(a_0 D^n + a_1 D^{n-1} + \ldots + a_{n-1} D + a_n I = 0 \)

Aber damit habe ich das Theorem selbst auf die Matrix D angewandt, um zu zeigen, dass es auch für die diagonalisierbare Matrix gilt. Ich bin mir nicht sicher, ob meine Erklärung so dann gültig ist.

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Ja, eben, das darf man nicht benutzen. Es geht aber ohne weitere Theoreme. In \(D\) stehen ja die Eigenwerte in der Diagonalen. Wie sieht dann \(D^n\) aus, und damit die "wir wissen, dass..."-Gleichung?

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\( D^n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_2^n & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda_n^n \end{pmatrix} \)

Daher:

\( \begin{pmatrix} a_0 \lambda_1^n + a_1 \lambda_1^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \lambda_1 + a_n & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_0 \lambda_2^n + a_1 \lambda_2^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \lambda_2 + a_n & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_0 \lambda_n^n + a_1 \lambda_n^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \lambda_n + a_n \end{pmatrix} \)

Auf der diagonalen sind dann die charakteristischen Polynome passend zu jedem Eigenwert. Wo wir wissen, dass diese 0 sind? Und somit haben wir die Nullmatrix?

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Genau so ist es. Prima (auch die \(\LaTeX\)-Übung dabei ;-))

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Danke dir :)