Vergleichskriterium für die Reihe von k=1 bis unendlich über 1/(1+3k)^2

Question

Aufgabe:

https://www.youtube.com/watch?v=wKm4qGm2IRw

Ich weiss nicht, ob man ein Video teilen darf, aber habe folgendes Problem:

Ich muss herausfinden, ob die Reihe konvergiert oder nicht.

Wenn ich die Beispiele anschaue in diesem Video und das hier umsetzen möchte:

Summe k =1 bis n mit 1/(1+3k)^2

Kann ich sagen -> Mein Nenner wird zu (k)^2, da sie gegen unendlich geh und man dadurch die Zahlen gar nicht mehr beachtet, welche addiert werden. -> 1/k^2 und eine harmonische Reihe konvergiert.

Kann man so vorgehen beim Vergleichskriterium?

Answer 1

Hallo,

ja, das klappt. Da \(1+3k>k\) für alle \(k\in \mathbb{N}\) gilt, dass $$0\leq \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{(1+3k)^2}}\leq \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}<\infty$$ und damit folgt, dass die Reihe konvergiert.