Question

Beweise mit vollständiger Induktion:

1*2 + 2*5 + ... + n (3n-1) = n² (n+1)

Answer 1

IVoraussetzung:

 1*2 + 2*5 + ... + n (3n-1) = n^2 (n+1)

ISchritt:

1*2 + 2*5 + ... + n (3n-1)  +  (n+1)(3(n+1)-1 )

=n^2(n+1)  +  (n+1)(3n+3-1)            
=n^2(n+1)+(n+1)(3n+2)                        (n+1) ausklammern
=(n+1)(n^2+3n+2)
=(n+1)(n^2+2n+1+n+1)                         Zweite Klammer für 1. binomische Formel umstellen

=(n+1)((n+1)^2+(n+1))

=(n+1)^3+(n+1)^2

=(n+1)^2(n+1)+(n+1)^2                          (n+1)^2 ausklammern

= (n+1)^2 (n+1+1)                                  Fertig

Answer 2

Ja, das kann man tatsächlich mit vollständiger Induktion beweisen. Hast du den Induktionsanfang schon geschafft?

Comments

ja, der stimmt ich komme beim Induktionsschritt nicht mehr weiter

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Du musst zeigen, dass man, wenn man zur Summe n²(n+1) noch den nächsten Summanden (n+1) (3(n+1)-1) addiert, als Ergebnis (n+1)²((n+1)+1) erhält.

Answer 3

Zu zeigen:

∑ (k = 1 bis n) (k·(3·k - 1)) = n^2·(n + 1)

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) (k·(3·k - 1)) = 1^2·(1 + 1)
(1·(3·1 - 1)) = 2
2 = 2
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (k·(3·k - 1)) = (n + 1)^2·((n + 1) + 1)
∑ (k = 1 bis n) (k·(3·k - 1)) + ((n + 1)·(3·(n + 1) - 1)) = (n + 1)^2·((n + 1) + 1)
n^2·(n + 1) + (n + 1)·(3·(n + 1) - 1) = (n + 1)^2·((n + 1) + 1)
(n + 1)·(n^2 + 3·(n + 1) - 1) = (n + 1)^2·((n + 1) + 1)
(n^2 + 3·(n + 1) - 1) = (n + 1)·((n + 1) + 1)
(n^2 - 1 + 3·(n + 1)) = (n + 1)·((n + 1) + 1)
((n + 1)·(n - 1) + 3·(n + 1)) = (n + 1)·((n + 1) + 1)
(n + 1)·((n - 1) + 3) = (n + 1)·((n + 1) + 1)
((n - 1) + 3) =((n + 1) + 1)
n + 2 = n + 2
wahr