Gibt es da einen grundsätzlichen Vorgang?

Question

Hallo ich habe folgendes Problem: wenn ich z.B. (1 · 2)^ −1 ≡ 5 (mod 9) habe, weiß ich nicht, wie ich auf die 5 komme. Gibt es da einen grundsätzlichen Vorgang ? Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Du suchst das Multiplikative Inverse der Zahl 2 nach dem Modul 9.

Es gilt

2*0 ≡ 0 mod 9

2*1 ≡ 2 mod 9

2*2 ≡ 4 mod 9

2*3 ≡ 6 mod 9

2*4 ≡ 8 mod 9

2*5 ≡ 1 mod 9

2*6 ≡ 3 mod 9

2*7 ≡ 5 mod 9

2*8 ≡ 7 mod 9

Es gibt also maximal 9 mögliche Reste mod 9, und du suchst die Aufgabe mit dem Rest 1.

Wegen 2*5 ≡ 1 mod 9 ist also 5 das gesuchte Inverse von 2.

Comments

ah okay das ist verständlich. Und wie würde es dann bei ((−1) · 1)^−1 ≡ −1 (mod 10) aussehen ?

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Einigen wir uns zunächst, dass (−1) · 1= -1 gilt und -1 ≡ 9 mod 10 ist.

Von den Produkten 0*9, 1*9, 2*9, ... lässt nur das Produkt 9*9=81 den Rest 1 mod 10.

Also ist 9 (bzw. -1) zu sich selbst invers nach dem Modul 10.

(Das lässt sich auch direkt mit (-1)*(-1)=1 begründen.

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Super vielen Dank. Hat mir sehr weitergeholfen !

Answer 2

2^(-1) ist das Multiplikativ Inverse zu 2.

Du suchst also

2 * 2^(-1) = 1 mod 9

Mach jetzt mal eine Tabelle

2 * 1 = 2 mod 9
2 * 2 = 4 mod 9
2 * 3 = 6 mod 9
2 * 4 = 8 mod 9
2 * 5 = 1 mod 9
2 * 6 = 3 mod 9
2 * 7 = 5 mod 9
2 * 8 = 7 mod 9

Ah du erkennst das 2^(-1) = 5 mod 9 gelten müsste.

Natürlich gibt es hier auch rechnerische Wege wie den erweiterten euklidischen Algorithmus. Aber wie du siehst kann man das bei solchen Werten auch noch von Hand machen.

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