Gibt es einen Trick wie man das schneller machen kann?

Question

Aufgabe:

Ich soll jeweils unten das Ergebnis von j³  ∈ Z_12, j ∈ Z_12 eintragen

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Problem/Ansatz:

Gibt es einen Trick wie man das schneller machen kann? Bis zur 4 kann man das noch einfach per Hand machen, aber danach wird es mühsamer. Würde die Aufgabe umgestellt werden in 3^j könnte man zum Beispiel 3 * den letzten Rest mod 12 rechnen und hätte den Eintrag. Gibt es vielleicht so einen ähnlichen Trick für Aufgaben solcher Art?

Comments

Beachte z.B. dass \( 10 \equiv -2 \mod (12) \) ist und damit

$$ 10^3 \equiv (-2)^3 = -2³ = -8 \equiv 4 \mod (12) $$

Es reicht also mehr oder weniger das nur bis j=6 zu berechnen. Für die kleinen j musst du auch nicht ^3 rechnen, sondern kannst erst mal quadrieren und dann bereits den Rest betrachten:

$$ 5^3 = 5^2 \cdot 5 = 25 \cdot 5 \equiv 1 \cdot 5 = 5 \mod (12) $$

etc. Dann sollte das eig fix gehen.

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Weiterer Tipp: Die Kubikzahlen bis 10^3 sollte man zumindest im Schlaf können und eine Division durch 12 ist an sich auch nicht so schwierig.

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Die Kubikzahlen bis 10^3 sollte man zumindest im Schlaf können und eine Division durch 12 ist an sich auch nicht so schwierig.

Ich spreche sicher für viele, wenn ich sage, dass es nicht selbstverständlich ist, die Kubikzahlen auswendig aufzusagen und locker im Kopf durch 12 zu teilen.

Die wenigsten Abiturienten schaffen es heutzutage, das große Einmaleins aufzusagen und um ehrlich zu sein, glaube ich nicht, dass das bei den meisten Studenten besser wird.

Answer 1

Hallo,

Gibt es einen Trick wie man das schneller machen kann?

Ja den gibt es. Das ist letzlich eine arithmetische Folge 3.Ordnung. Füge noch drei Zeilen hinzu und bilde die Differenzen von zwei hinter einander folgenden Zahlen. In der dritten hinzugefügten Zeile stehen dann nur noch 6'er. In der zweiten Zeile ist es eine Folge von 0 und 6 und in der ersten wiederholt sich die Folge nach 7, 7, 1 und 1.

hat man es einmal kapiert, kann man es direkt hinschreiben:

Probier's mal aus. Wenn Du Fragen hast, so melde Dich nochmal.

Comments

Das bedeutet konkret, dass man eigentlich nur die Ergebnisse von 0 bis 3 in die Tabelle eintragen muss. Damit hätte man dann den Wert der 3. Differenzenreihe und kann damit dann alle Ergebnisse recht schnell hinschreiben.

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Jetzt rechnest du den Leuten schon die Ansätze von anderen Helfern in den Kommentaren vor anstatt sie das wirklich mal selbst ausprobieren zu lassen. Du nimmst wirklich jeglichen Lernerfolg ab...

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Er hat das "Probier's mal aus." wohl auf sich bezogen und wollte zeigen, dass er's auch kann.

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Wenn ich hier etwas rechne, sollte das einen Schüler/Studenten noch lange nicht abhalten es selber auch zu rechnen.

Und ich verstehe auch nicht, warum ihr das den Schülern und Studenten unterstellt.

Sicher gibt es einige, die evtl. nur eine Lösung abgreifen wollen und es eigentlich nicht lernen wollen. Das betrifft, wenn dann aber vermutlich eher Schüler. Spätestens als Student sollte man erwarten, dass sie auch etwas lernen und verstehen wollen.

Ich wusste z.B., dass bei einer ganzrationalen Funktion n. Grades die n. Differenzenreihe konstant ist. Aber ich wäre selber nicht auf die Idee gekommen das hier anzuwenden obwohl es total logisch ist. Also ich habe heute demzufolge schon etwas dazu gelernt. Und klar hab ich es mir auch hier für mich notiert und das Bild davon auch oben zur Verfügung gestellt, weil ich kaum glaube, dass wenn ein Student es selber sich hinkritzelt, dass dann hier zur Verfügung stellt.

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Und ich verstehe auch nicht, warum ihr das den Schülern und Studenten unterstellt.

Erfahrung und Psychologie. Eine vorhandene Rechnung leitet eben sehr schnell dazu, dass man eben nicht alleine nachdenkt, sondern beim kleinsten Hänger spickt. Zumal dein wunderschönes Bild ja sofort für jeden sichtbar ist.

Spätestens als Student sollte man erwarten, dass sie auch etwas lernen und verstehen wollen.

Dann sollte man ihnen auch die Gelegenheit bieten - und diese raubst quasi fast immer - die Ansätze selbstständig auszuprobieren, ohne, dass es eine Lösung gibt, bei der sie abschauen können.

Aber ich wäre selber nicht auf die Idee gekommen das hier anzuwenden obwohl es total logisch ist.

Deswegen wurde dieser Ansatz ja auch genannt, den du natürlich vorrechnen musstest, weil du es selbst für dich ausprobiert hast (siehe Kommentar von nudger).

Also ich habe heute demzufolge schon etwas dazu gelernt.

Es geht hier aber immer noch nicht um dich, sondern um den FS, der sich nun eben keine Gedanken mehr machen braucht, weil er ja direkt abschreiben kann.

weil ich kaum glaube, dass wenn ein Student es selber sich hinkritzelt, dass dann hier zur Verfügung stellt.

Warum sollte er das auch tun? Der Ansatz wurde genannt, so dass das nun auch jeder für sich ausprobieren kann. Wenn dabei Probleme auftreten, kann man ja nachhaken.

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Es ist auch möglich, Lösungen in Antworten zu verbergen. Mal sehen, ob es auch in Kommentaren funktioniert.

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Hallo

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Wenn man erst kurze Zeit dabei ist, weiß man das natürlich noch nicht... ;-)

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Diese Funktion ist, denke ich, eine nette Spielerei, die ich selber auch schon oft benutzt habe. Ich denke, wer es sich anschauen will, wird auch einen Klick nicht scheuen. Ich würde mich über statistische Untersuchungen dieser Verbergefunktion freuen.

Answer 2

5 und 7 sind die teilerfremd mit 12. Glücklicherweise gilt aber

\(5^2\equiv 7^2 \equiv 1 \mod 12 \) Damit hast du die schon im Sack.

Für die anderen, zerlege in Produkte.

Du hast schon

\(2^3 \equiv 8 \equiv -4 \mod 12\)

\(3^3 \equiv 3 \mod 12\)

Nun bedenke \(4= 2\cdot 2\) , \(6=2\cdot 3\) etc.

Zum Beispiel erhältst du für 6:

\(6^3 \equiv 8 \cdot 3 \equiv 0 \mod 12\)

usw.