zu 1.: Um Wurzeln ihrer Größe nach abschätzen zu können, ist es hilfreich, wenn man ein paar Wurzeln bzw. Quadrate kennt.
Also die Quadrate von 1-20 oder 1-25 sind schon ziemlich hilfreich, da man sich dann in etwa vorstellen kann, wie groß die Wurzel einer Zahl ist.
Wenn man z.B. die Wurzel von 172 berechnen will, dann erinnert man sich daran, dass 132=169 und 142=196 und weiß daher, dass √172 ein kleines bisschen größer als 13 ist.
Quantitativ hilft das natürlich nicht wirklich weiter, aber man hat eine erste Vorstellung davon, wie groß die Wurzel einer Zahl ist.
Hilfreich ist es auch, die Wurzeln der Zahlen von 1-10 zumindest auf eine Stelle hinter dem Komma zu kennen.
Also
√2≈1,4
√3≈1,7
√4≈2
√5≈2,2
√6=√2*√3≈2,4
√7≈2,6
√8≈2,8
√9=3
√10≈3,2
Zieht man Wurzeln aus größeren Zahlen, dann kann man die Exponentialdarstellung zur Basis 10 nutzen:
So z.B. für die Wurzel aus 30000:
30000=3*104
also ist die Wurzel aus 30000:
√(30000)=√(3)*√(104) ≅ 1,7*102=170
Die richtige Lösung ist 173, also liegt man schon ziemlich nah dran.
Für andere kleine Zahlen hilft dann auch die Primfaktorzerlegung: Zurück zum Beispiel 172:
172=2*2*43=2*2*43
√172=2*√43≈2*6,6=13,2
Warum habe ich für √43=6,6 gewählt? Ganz einfach: 43 liegt ziemlich genau in der Mitte zwischen 62 und 72. Und da die Quadratfunktion nicht ganz linear ist, liegt 6,52 ein kleines bisschen unter dem Mittelwert von 62 und 72. Der genaue Mittelwert wäre 42,5; wenn der also schon ein bisschen über 6,52 liegt, dann nehme ich für √43 am besten direkt 6,6 und bin auf der sicheren Seite.
Rechnet man √172 mit dem Taschenrechner aus, dann sieht man, dass die Schätzung ziemlich gut ist:
√172≈13,115
Bis auf eine Stelle hinterm Komma war die "grobe" Schätzung also richtig.
