Richtig/Falschausage zu Vektoren

Question

ich soll verschiedene Aussagen zum Thema Vektoren auf ihre Richtigkeit überprüfen u.a. diese:

Aussage: \(||v||=\sqrt{x²+y²}\), wenn der Vektor \( v\) in der Ebene liegt.

Hier der Link zur LaTeX-Darstellung: https://www.matheretter.de/rechner/latex?tex=%7C%7Cv%7C%7C%3D%5Csqrt%7Bx%C2%B2%2By%C2%B2%7D

Meine Frage ist nun wie kann ich diese Aussage beweisen. Denn mit dem Wurzelausdruck berechne ich ja zunächst nur mal die Vektorlänge. Außerdem frage ich mich warum hier die Betragsstriche hier doppelt aufgeführt werden.

Vielen Dank und liebe Grüße

Answer 1

Die doppelten Betragsstriche stehen für eine Norm. Wenn nicht anders vermerkt dann die euklidische Norm.

Dann ist die Norm des Vektors auch der Betrag des Vektors.

$$\left|\left| \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \right|\right| = \sqrt{x^2+y^2}$$

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Leider verstehe ich den Zusammenhang noch nicht, wie die Länge (Betrag) des Vektors und die Aussage, dass der Vektor dann in der Ebene liegt zusammenhängt

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Kannst du die Länge folgenden Vektors bestimmen? Wie gehst du vor und warum gehst du so vor?

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Die Pfeilspitze hat die Koordinaten (4|3).
Der Ortsvektor wäre also (4  3)
Der Betrag (Länge) des Ortsvektors wäre: 4²+3² = 16 + 9 = 25 … davon die Wurzel wäre 5.

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Das ist völlig richtig. Hintergrund der Rechnung ist der Satz des Pythagoras.

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Aber wie ist der Zusammenhang zum Begriff "Ebene".

Bei diesem Vektor habe ich nur eine x- & y-, aber keine z-Komoponente d.h. im x-y-Koordinantensystem wird nur eine einzige Ebene zwischen der x-Achse und y-Achse aufgespannt ... ist dass damit gemeint ? Aber warum wir hier explizit die Länge des Vektors zur Sprache gebracht ? ... ein zweidimensionaler Vektor liegt zwangsläufig in der einzig vorhanden Ebene.

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Ja. Entweder ist die Aufgabe dort nicht genau genug gestellt oder du hast etwas vergessen.

wenn der Vektor v in der Ebene liegt.

Es sollte hier sicher die xy-Ebene gemeint sein. Dann könnte es auch ein dreidimensionaler Vektor sein.

\(\left|\left| \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} \right|\right| = \sqrt{x^2+y^2}\)

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Vielen Dank für die Hilfe- & Klarstellung. Die Aufgabe ist tatsächlich so abgedruckt.

Liebe Grüße

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Wenn man von "der Ebene" spricht, dann meint man meist die xy-Ebene. Also unser ganz normales Koordinatensystem. Denn dort gab es ja nur eben diese eine Ebene. Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es bereits unendlich viele Ebenen und dann müssten wir eben genau sagen um welche Ebene es geht.

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Dankeschön :-)