Zeige, dass gilt: (a × (b×c) = b(a·c) - c(a*b) (Vektoren)

Question

Zeige, dass gilt:

$$ \vec {a} \times \left( \vec {b} \times \vec {c} \right)  =\vec {b} \cdot \left( \vec {a} \cdot \vec {c}  \right) -\vec {c} \cdot \left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right) $$

Kann mir jemand dieses Sachverhalt erklären bzw. eine Lösung zeigen?

Answer 1

A ⨯ (B ⨯ C) = B·(A·C) - C·(A·B)

[a,b,c] ⨯ ([d,e,f] ⨯ [g,h,i]) = [d,e,f]·([a,b,c]·[g,h,i]) - [g,h,i]·([a,b,c]·[d,e,f])

[a,b,c] ⨯ ([e·i - f·h, f·g - d·i, d·h - e·g]) = [d,e,f]·(a·g + b·h + c·i) - [g,h,i]·(a·d + b·e + c·f)

[a,b,c] ⨯ ([e·i - f·h, f·g - d·i, d·h - e·g]) = [d,e,f]·(a·g + b·h + c·i) - [g,h,i]·(a·d + b·e + c·f)

[b·(d·h - e·g) + c·(d·i - f·g), a·(e·g - d·h) + c·(e·i - f·h), a·(f·g - d·i) + b·(f·h - e·i)] = [d·(a·g + b·h + c·i), e·(a·g + b·h + c·i), f·(a·g + b·h + c·i)] - [g·(a·d + b·e + c·f), h·(a·d + b·e + c·f), i·(a·d + b·e + c·f)]

[b·(d·h - e·g) + c·(d·i - f·g), a·(e·g - d·h) + c·(e·i - f·h), a·(f·g - d·i) + b·(f·h - e·i)] = [b·(d·h - e·g) + c·(d·i - f·g), a·(e·g - d·h) + c·(e·i - f·h), a·(f·g - d·i) + b·(f·h - e·i)]

Das stimmt also.

Ich weiß nicht ob es noch einen geschickteren weg gibt als das ganze auszumultiplizieren.