e^x mit Riemann-Summen Integral berechnen

Question

Hallo.

Ich soll das Integral von 0 bis a (>0) von exp(x) berechnen und dabei die Riemann-Summen verwenden.

Bitte um Hilfe:)

Answer 1

Untersumme: U_n = a/n * (e^0 + e^{a/n} + e^{2a/n} + ..... + e^((n-1)a/n)

In der Klammer steht eine geometrische Reihe mit erstem Summanden 1 und Faktor e^{a/n} ihre Summe ist:

(.....) = 1*((e^{a/n})^n-1) / ( e^{a/n} -1 ) = ( e^{a} -1 )/(e^{a/n} - 1)

U_n = a/n * (e^0 + e^{a/n} + e^{2a/n} + ..... + e^((n-1)a/n)

= a/n (e^{a} - 1)/(e^{a/n} -1)

= (a/n) /  /(e^{a/n} -1)      * (e^{a}-1 )

Grenzwert n gegen unendlich.

Betrachte

 (a/n) /  /(e^{a/n} -1) = 1/ ( (e^{a/n} -1) /(a/n))        sei x=a/n (statt n gegen unendlich, geht nun x gegen 0)

Nenner ist dann (e^x - e^0) /(x-0) = (e^0 -e^x)/(0-x) 

Gemäss der Definition der Ableitung: Limes x gegen 0 ergibt die Ableitung von e^x an der Stelle x=0. Also e^0 = 1. 1/1= 1.

Daher: Limes n gegen unendlich von  (a/n) /  /(e^{a/n} -1)      * (e^{a}-1 ) = e^{a} - 1

Mit der Obersumme kommst du im Grenzwert auf den gleichen Wert für dieses Integral.