Gibt es irgendwie einen Trick , wo man direkt ablesen oder abschätzen kann , was die EW sind?

Question

Aufgabe:

EW berechnung von dem Matrix

A = ( 7  0 0 6 )
        0 1 0 0
        0 0 1 0 
        6 0 0 7

Problem/Ansatz:

… es sollte eigenwerte  1  ; 13 . Normaler Rechnungsweg mit Chark. Polynom ist sehr mühlsam anscheindend. Gibt es irgendwie einen Trick , wo man direkt ablesen oder abschätzen kann , was die EW sind ? Vielleicht mit Rang oder Spur ; Det oder so ?

Danke im Voraus

Comments

Alternativ vertausche Zeilen/Spalten 2 und 4. Das liefert eine Blockmatrix, deren charakterisches Polynom einfacher zu berechnen ist.

Answer 1

Aloha :)

Durch die Multipplikation einer Matrix mit dem Einheitsvektor $\vec e_k$ wird die $k$-te Spalte der Matrix ausgewählt, daher gilt:$$\begin{pmatrix}7 & \red0 & \blue0 & 6\\0 & \red1 & \blue0 & 0\\0 & \red0 & \blue1 & 0\\6 & \red0 & \blue0 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}\red0\\\red1\\\red0\\\red0\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}7 & \red0 & \blue0 & 6\\0 & \red1 & \blue0 & 0\\0 & \red0 & \blue1 & 0\\6 & \red0 & \blue0 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}\blue0\\\blue0\\\blue1\\\blue0\end{pmatrix}$$Damit haben wir den doppelten Eigenwert $\lambda_{1;2}=1$ gefunden.

Bei noch genauerem Hinsehen entdecken wir, dass die Summe der ersten und der letzten Spalte einen Vektor liefert, dessen ersten und letzte Komponente gleich $13$ sind und dessen übrigen Komponenten gleich $0$ sind:$$\begin{pmatrix}7 & \red0 & \blue0 & 6\\0 & \red1 & \blue0 & 0\\0 & \red0 & \blue1 & 0\\6 & \red0 & \blue0 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\0\\0\\13\end{pmatrix}=13\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$Also ist $\lambda_3=13$ ein weiterer Eigenwert mit Eigenvektor $(1;0;0;1)^T$.

Jetzt fehlt uns noch der vierte Eigenwert. Dazu nutzen wir aus, dass die Summe der Diagonalelmente gleich der Summe der Eigenwerte ist:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=7+1+1+7\implies1+1+13+\lambda_4=16\implies\lambda_4=1$$

Daher gibt es den 3-fachen Eigenwert $1$ und den einfachen Eigenwert $13$.

Answer 2

Setze die Det für das char. Polynom an und entwickle nach Laplace nach der ersten Zeile. Gibt $(7-x)^2(1-x)^2-6^2(1-x)^2$. Der Rest sollte einfach sein.

Comments

Müsste es nicht 6² lauten?

(7 - k)²·(1 - k)² - 6²·(1 - k)² = 0

(1 - k)²·((7 - k)² - 6²) = 0
(1 - k)²·(k² - 14·k + 49 - 36) = 0
(1 - k)²·(k² - 14·k + 13) = 0
(1 - k)²·(k - 1)·(k - 13) = 0
(k - 1)³·(k - 13) = 0

k = 1 ; k = 13

---

Danke, ist korrigiert (Hinweis hätte gereicht).

---

Ja. Ich hätte die Rechnung auch als eigenständige Antwort verfassen können. Ich wollte mir den Aufwand sparen, wenn ich hier schon einen Kommentar verfasse, um wenigstens zu zeigen, dass ich manchmal auch Kommentare hier lese.

---

Nach der Rechnung war ja nicht gefragt (Frage lesen nützt). Und traurig, dass Du dem FS das nicht selbst zutraust. Langeweile?