0 Daumen
509 Aufrufe

Aufgabe:

EW berechnung von dem Matrix


A = ( 7  0 0 6 )
        0 1 0 0
        0 0 1 0 
        6 0 0 7

Problem/Ansatz:

… es sollte eigenwerte  1  ; 13 . Normaler Rechnungsweg mit Chark. Polynom ist sehr mühlsam anscheindend. Gibt es irgendwie einen Trick , wo man direkt ablesen oder abschätzen kann , was die EW sind ? Vielleicht mit Rang oder Spur ; Det oder so ?


Danke im Voraus

Avatar von

Alternativ vertausche Zeilen/Spalten 2 und 4. Das liefert eine Blockmatrix, deren charakterisches Polynom einfacher zu berechnen ist.

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Durch die Multipplikation einer Matrix mit dem Einheitsvektor ek\vec e_k wird die kk-te Spalte der Matrix ausgewählt, daher gilt:(7006010000106007)(0100)=1(0100);(7006010000106007)(0010)=1(0010)\begin{pmatrix}7 & \red0 & \blue0 & 6\\0 & \red1 & \blue0 & 0\\0 & \red0 & \blue1 & 0\\6 & \red0 & \blue0 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}\red0\\\red1\\\red0\\\red0\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}7 & \red0 & \blue0 & 6\\0 & \red1 & \blue0 & 0\\0 & \red0 & \blue1 & 0\\6 & \red0 & \blue0 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}\blue0\\\blue0\\\blue1\\\blue0\end{pmatrix}Damit haben wir den doppelten Eigenwert λ1;2=1\lambda_{1;2}=1 gefunden.

Bei noch genauerem Hinsehen entdecken wir, dass die Summe der ersten und der letzten Spalte einen Vektor liefert, dessen ersten und letzte Komponente gleich 1313 sind und dessen übrigen Komponenten gleich 00 sind:(7006010000106007)(1001)=(130013)=13(1001)\begin{pmatrix}7 & \red0 & \blue0 & 6\\0 & \red1 & \blue0 & 0\\0 & \red0 & \blue1 & 0\\6 & \red0 & \blue0 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\0\\0\\13\end{pmatrix}=13\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}Also ist λ3=13\lambda_3=13 ein weiterer Eigenwert mit Eigenvektor (1;0;0;1)T(1;0;0;1)^T.

Jetzt fehlt uns noch der vierte Eigenwert. Dazu nutzen wir aus, dass die Summe der Diagonalelmente gleich der Summe der Eigenwerte ist:λ1+λ2+λ3+λ4=7+1+1+7    1+1+13+λ4=16    λ4=1\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=7+1+1+7\implies1+1+13+\lambda_4=16\implies\lambda_4=1

Daher gibt es den 3-fachen Eigenwert 11 und den einfachen Eigenwert 1313.

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Setze die Det für das char. Polynom an und entwickle nach Laplace nach der ersten Zeile. Gibt (7x)2(1x)262(1x)2(7-x)^2(1-x)^2-6^2(1-x)^2. Der Rest sollte einfach sein.

Avatar von 10 k

Müsste es nicht 62 lauten?

(7 - k)2·(1 - k)2 - 62·(1 - k)2 = 0

(1 - k)2·((7 - k)2 - 62) = 0
(1 - k)2·(k2 - 14·k + 49 - 36) = 0
(1 - k)2·(k2 - 14·k + 13) = 0
(1 - k)2·(k - 1)·(k - 13) = 0
(k - 1)3·(k - 13) = 0

k = 1 ; k = 13

Danke, ist korrigiert (Hinweis hätte gereicht).

Ja. Ich hätte die Rechnung auch als eigenständige Antwort verfassen können. Ich wollte mir den Aufwand sparen, wenn ich hier schon einen Kommentar verfasse, um wenigstens zu zeigen, dass ich manchmal auch Kommentare hier lese.

Nach der Rechnung war ja nicht gefragt (Frage lesen nützt). Und traurig, dass Du dem FS das nicht selbst zutraust. Langeweile?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage