Aloha :)
Durch die Multipplikation einer Matrix mit dem Einheitsvektor \(\vec e_k\) wird die \(k\)-te Spalte der Matrix ausgewählt, daher gilt:$$\begin{pmatrix}7 & \red0 & \blue0 & 6\\0 & \red1 & \blue0 & 0\\0 & \red0 & \blue1 & 0\\6 & \red0 & \blue0 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}\red0\\\red1\\\red0\\\red0\end{pmatrix}\quad;\quad\begin{pmatrix}7 & \red0 & \blue0 & 6\\0 & \red1 & \blue0 & 0\\0 & \red0 & \blue1 & 0\\6 & \red0 & \blue0 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}\blue0\\\blue0\\\blue1\\\blue0\end{pmatrix}$$Damit haben wir den doppelten Eigenwert \(\lambda_{1;2}=1\) gefunden.
Bei noch genauerem Hinsehen entdecken wir, dass die Summe der ersten und der letzten Spalte einen Vektor liefert, dessen ersten und letzte Komponente gleich \(13\) sind und dessen übrigen Komponenten gleich \(0\) sind:$$\begin{pmatrix}7 & \red0 & \blue0 & 6\\0 & \red1 & \blue0 & 0\\0 & \red0 & \blue1 & 0\\6 & \red0 & \blue0 & 7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\0\\0\\13\end{pmatrix}=13\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$Also ist \(\lambda_3=13\) ein weiterer Eigenwert mit Eigenvektor \((1;0;0;1)^T\).
Jetzt fehlt uns noch der vierte Eigenwert. Dazu nutzen wir aus, dass die Summe der Diagonalelmente gleich der Summe der Eigenwerte ist:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=7+1+1+7\implies1+1+13+\lambda_4=16\implies\lambda_4=1$$
Daher gibt es den 3-fachen Eigenwert \(1\) und den einfachen Eigenwert \(13\).
