Anzahl der Abonnenten bestimmen?

Question

Aufgabe:

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Unter den Abonnenten sind 70 % höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben 80 % das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter als 40 Jahre sind, haben sich 50 % für das Komplettpaket entschieden.

a) Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

b) Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens 40 Jahre alt ist.

c) Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mehr als fünf Personen älter als 40 Jahre sind.

Problem

Ich brauche Hilfe bei Aufgabe c.

Answer 1

1. Abzweig: 0,7 - 0,3

2. 0,8 - 0,2 bzw. 0,5 - 0,5

b) 0,7*0,8/(0,7*0,8+0,3*0,5)

c) P(X>=1) >=0,99

1- P(X=0) >=0,99

1- 0,7^n >=0,99

0,7^n <= 0,01

n >= ln0,01/ln0,7

n= 13

Comments

Wie kommt man auf 40?

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Wie kommt man auf 40?

Du rechnest die kumulierte Binomialverteilung für verschiedene Werte von n testweise aus.

F(39, 0.3, 5) = 0.0109
F(40, 0.3, 5) = 0.0086

Irgendwo siehst du zwischen zwei n Werten, dass die Wahrscheinlichkeit von über 1% auf unter 1% wechselt. Das ist dann das zugehörige n.

Wie ich in meiner Antwort geschrieben habe gibt es auch noch 2 andere Möglichkeiten, die allerdings nur bedingt vom Fachlehrer angesprochen werden.

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Wie haben Sie diese Wahrscheinlichkeit von 0,0109 raus bekommen? Geht es auch zum Beispiel durch Geogebra? Könnten Sie es zeigen ?

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Ist in diesem Fall die richtige Antwort 39 oder 40? Bei 39 kommt 0,0109 und bei 40 0,0086 raus.

Answer 2

c) Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens eine Person älter als 40 Jahre ist.

p = 0.3 (30% sind älter als 40 Jahre)

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - 0.3)^n ≥ 0.99 → n ≥ 13

Dieser Aufgabentyp wird auch mit "Mindestens dreimal mindestens Aufgabe" beschrieben. Such mal danach bei Youtube etc.

Comments

Ich habe die Aufgabe falsch hingeschrieben, wie rechnet man es mit mehr als 5 Personen?

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Dann könntest du das näherungsweise mit einer Variation von n mit dem TR machen.

P(X > 5) = 1 - P(X ≤ 5) ≥ 0.99
1 - 0.99 ≥ P(X ≤ 5)
P(X ≤ 5) ≤ 0.01

n ≥ 40

F(39, 0.3, 5) = 0.0109
F(40, 0.3, 5) = 0.0086

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Man könnte hier auch über eine Näherung über die Normalverteilung herangehen. Aber dazu sollte die besprochen worden sein. Daher wird das meist in der Schule über das Probieren mit der Binomialverteilung im Taschenrechner gemacht. MMS/CAS Rechner können solche Gleichungen meist auch direkt auflösen.

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Ich habe die Aufgabe falsch hingeschrieben, wie rechnet man es mit mehr als 5 Personen?

P(X>5) = 1-P(X<=5) >=0,99

Das geht nur mit Probieren:

n= 40

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

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Das geht nur mit Probieren:

Das geht nicht nur über Probieren. 3 Wege habe ich oben genannt

1. Probieren
2. Rechnereinsatz MMS/CAS
3. Näherungsrechnung über die Normalverteilung.

Benutzt man 3. sollte man nachher mit der Binomialverteilung aber trotzdem nochmals kontrollieren, wenn die Bedingung nach Moivre/Laplace nicht erfüllt ist.

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2. Rechnereinsatz MMS/CAS

Ich kenne solche TR nicht.

Was gibt man da ein? Löst er die Gleichung direkt?

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Was gibt man da ein? Löst er die Gleichung direkt?

Das hängt vom Taschenrechner ab. Der Taschenrechner löst das i.d.R. aber direkt, vermutlich numerisch, also selber auch durch probieren.

Meinen Fehler hatte ich übrigens schon korrigiert.

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Wie haben Sie diese Wahrscheinlichkeit von 0,0109 raus bekommen? Geht es auch zum Beispiel durch Geogebra? Könnten Sie es zeigen ?

Geogebra ist ein Modulares Mathematik System (MMS) und dort kannst du es direkt wie folgt berechnen.

https://www.geogebra.org/classic#cas

Zur Kontrolle mit Geogebra

https://www.geogebra.org/classic#probability

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Ist in diesem Fall die richtige Antwort 39 oder 40? Bei 39 kommt 0,0109 und bei 40 0,0086 raus.

Die Bedingung lautet

P(X ≤ 5) ≤ 0.01

Es müssen also mind. 40 Abonnenten zufällig ausgewählt werden, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens fünf Personen älter als 40 Jahre sind.

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Warum kommt bei der Gleichung

-2,33=(5-0,3n)÷(wurzel aus 0,21n) nicht 40 raus, sondern 39?

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Das ist die Näherung über die Normalverteilung. Die liefert Näherungswerte wie ich oben auch geschrieben habe.

Das heißt die Werte müssten mit der Binomialverteilung nochmals nachgerechnet werden. Vor allem wenn die Bedingung von Moivre und Laplace nicht erfüllt ist.

1. Probieren
2. Rechnereinsatz MMS/CAS
3. Näherungsrechnung über die Normalverteilung.

Benutzt man 3. sollte man nachher mit der Binomialverteilung aber trotzdem nochmals kontrollieren, wenn die Bedingung nach Moivre/Laplace nicht erfüllt ist.

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Weiterhin hast du in der Rechnung die stetige Ergänzung ignoriert, die man gerade bei kleinen Werten von n vornehmen sollte.

P(X ≤ 5) ≤ 0.01

Näherung über die Normalverteilung

NORMAL((5.5 - n·0.3)/√(n·0.3·0.7)) = 0.01
(5.5 - n·0.3)/√(n·0.3·0.7) = -2.326 --> n = 41.12

Das wären jetzt also schon 41. Aber wie gesagt ist das nur ein schlechter Näherungswert, da 41·0.3·0.7 = 8.61 < 9 gilt.

Answer 3

Die Antwort lautet n = 40.