Zeigen oder widerlegen Sie: Wenn es einen Untermodul U von M mit N ⊕ U = M gibt, dann gilt M/N ≅ U .

Question

Sei M ein endlich erzeugter ℤ-Modul und N ein Untermodul von M . Zeigen oder widerlegen Sie:

a) Wenn es einen Untermodul U von M mit N ⊕ U = M gibt, dann gilt M/N ≅ U .
b) Wenn U ein Untermodul von M ist mit M/N ≅ U , dann gilt N ⊕ U = M .

Answer 1

N⊕U/N → U: (n,u) + N = (0,u) + N ↦ u ist bijektiv.

ℤ/4ℤ hat den Untermodul 2ℤ/4ℤ und (ℤ/4ℤ)/(ℤ/2ℤ) ≅ ℤ/2ℤ, aber ℤ/4ℤ ist zyklisch und daher nicht zerlegbar.