Den Isomorphismus von U/(UnW) und (U+W)/W zeigen

Question

Hay Leute! Ich brauch hierbei mal Hilfe. Ich komm einfach nicht auf die Lösung bei dieser Aufgabe:



Seien U, W zwei Unterräume in V.

Zeigen Sie, dass es ein isomorphismus U/(U∩W) ≅ (U+W)/W gibt.

Answer 1

Hallo,

betrachte den Homomorphismus
$$\phi:\left\{\begin{array}{lcr}U&\rightarrow&U+W/W\\u&\mapsto&u+W\end{array}\right\}$$
Es gilt $$ u \in Kern(\phi)\iff u\in U\wedge u+W=W\iff u\in U \cap W$$

Die Isomorphie ist also gerade die Aussage des Homomorphiesatzes.

Gruß ermanus

Comments

Wieso folgt aus u+W = W, u e W ?

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Es ist \(u=u+0\in u+W\), da \(0\in W\).