Streng Monoton zeigen (Verständnisproblem)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(b) Überprüfen Sie, ob
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{4}, & \text { für } x \in[0,2] \\ x+17, & \text { für } x>2 \end{array}\right. $$
(streng) monoton ist.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(b) Wir zeigen, dass die Funktion streng monoton steigend ist, d.h. gilt \( x<y, \) so muss \( f(x)<f(y) \) bzw. äquivalent \( f(x)-f(y)<0 \) gelten. Dazu unterscheiden wir drei Fälle:
$$ \begin{array}{c} 0 \leq x<y \leq 2: f(x)-f(y)=x^{4}-y^{4}=\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)(\underbrace{x-y}_{<0})(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)<0 \\ 0 \leq x \leq 2<y: \quad f(x) \leq 2^{4}=16<19=2+17<f(y) \\ 2<x<y: \quad f(x)-f(y)=x+17-(y+17)=x-y<0 \end{array} $$

Ich verstehe den Lösungsansatz leider nicht. Wie kommt man auf die 3 Fälle? Und warum weiß man dass (x-y) < 0 bzw. (x^2 + y^2) > 0 ist usw?

Vielen Dank!

Answer 1

Die drei Fälle entstehen durch die Tatsache, dass f auf 2 Bereichen

definiert. Wenn man also 2 Stellen x und y hat mit x<y , dann sind diese entweder

beide im 1. Bereich also 0≤x<y≤2 oder

das x aus dem ersten und y aus dem 2. Bereich

oder beide aus dem 2. Bereich .

Und warum weiß man dass (x-y) < 0 , weil x<y

bzw. (x^2 + y^2) > 0  weil Quadrate nie negativ sind,

gilt zumindest  (x^2 + y^2)  ≥ 0. Und weil x und y  verschieden sind ,

können nicht beide gleich 0, also ist mindestens eines der Quadrate positiv.

Comments

Vielen Dank! Das hat Klarheit verschafft :) Verwirrt hat mich das x und y, welche ja nichts anderes als zwei x Werte sind... x1 und x2 wären für mich geeignetere Bezeichnungen .

Answer 2

Wie kommt man auf die 3 Fälle?

Die gegebene Funktion ist auf zwei Teilintervallen definiert. Im ersten und im dritten Fall wird gezeigt, dass die Funktion auf jedem Teilintervall streng monoton steigt. Im zweiten Fall geht es nun darum, ob die Funktion auch beim Übergang vom linken zum rechten Teilintervall streng monoton steigt.

Und warum weiß man dass (x-y) < 0 bzw. (x^2 + y^2) > 0

Das folgt beides sofort aus dem vorausgesetzten x<y.

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