Zeigen, dass es mindestens zwei Interpolationspolynome gibt.

Question

ich bräuchte mal kurz Hilfe bei folgender Aufgabe

Aufgabe:

Gegeben Stützpunkte (0,3), (1,4), (2,1)

Wende Newton-Verfahren an, um eindeutig bestimmes Interpolationspolynom in R[x]_2, welches zwischen den gegeben Stützpunkten interpoliert.

Beweise dass es mindestens ein weiteres Polynom gibt, dass die Stützpunkte interpoliert.

Problem/Ansatz:

(x₀, y₀) = (0,3)  (x₁, y₁) = (1,4)  (x₂, y₂) = (2,1)

y₀ = c₀

y₁ = c₀ + c₁ (x₁ - x₀)

y₂ = c₀ + c₁ (x₂ - x₀) + c₂ (x₂ - x₀) (x₂ - x₁)

P (x) = c₀ + c₁ (x - x₀) + c2 (x - x₀) (x - x₁)

3 = y₀ = P (x₀) = c₀

=> c₀ = 3

4 = y₁ = P (x₁) = c₀ + c1 (x₁ - x₀)

4 = 3 + c₁ (1 - 0)

4 = 3 + c₁

1 = c₁

=> c1 = 1

1 = y₂ = P (x₂) = c₀ + c₁ (x₂ - x₀) + c2 (x₂ - x₀) (x₂ - x₁)

1 = 3 + 1 * (2 - 0) + c₂ (2 - 0) (2 - 1)

1 = 3 + 2 + 2c₂

1 = 5 + 2c₂

-4 = 2c₂

-2 = c₂

=> c₂ = -2

P(x) = 3 + 1 * (x - 0) - 2 (x - 0) (x - 1)

= 3 + x - 2 x (x - 1)

= 3 + x - 2x² + 2x

= - 2x² + 3x +3

Somit wäre das Interpolationspolynom -2 x² + 3x +3 .

Wie zeige ich jetzt, dass es mindestens noch ein weiteres gibt, welches die Stützpunkte interpoliert?

Comments

Z.B. \(Q(x)=x^3-5x^2+5x+3\).

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Wie bist du darauf gekommen?

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Füge den drei gegebenen Stützpunkten einen weiteren, der nicht auf P liegt, hinzu (z.B. (3|0)) und bestimme das Polynom dritten Grades, das alle vier Punkte interpoliert.

Answer 1

Aloha :)

Der Schlüssel zur Lösung ist bereits in der Aufgabenstellung versteckt. Dort wird verraten, dass es genau ein eindeutig bestimmtes Interpolations-Polynom 2-ter Ordnung gibt, das alle 3 Stützstellen hat. Wenn du also ein weiteres Interpolation-Polynom finden sollst, musst die Ordnung dieses Polynoms größer als 2 sein. Dein Interpolationspolynom 2-ter Ordnung ist korrekt:$$p_2(x)=-2x^2+3x+3$$

Wir suchen nun ein weiteres Polynom, diesmal von 3-ter Ordnung, mit denselben Stützstellen$$(0;3)\quad;\quad(1;4)\quad;\quad(2;1)$$Mit dem Ansatz$$p_3(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$erhalten wir 3 Gleichungen für 4 Unbekannte:$$3=p_3(0)=d\quad\Rightarrow\quad d=3$$$$4=p_3(1)=a+b+c+d=a+b+c+3\quad\Rightarrow\quad a+b+c=1$$$$1=p_3(2)=8a+4b+2c+3=6a+2b+2(a+b+c)+3=6a+2b+5$$$$\quad\Rightarrow\quad6a+2b+4=0\quad\Rightarrow\quad b=-3a-2$$Der Parameter \(d=3\) ist also fest, aber \(b\) und \(c\) richten sich nach der Wahl von \(a\):$$b=-3a-2\quad;\quad c=1-a-b=2a+3$$Die möglichen Interpolations-Polynome 3-ter Ordnung sind daher:$$p_{3}(x)=ax^3-(3a+2)x^2+(2a+3)x+3\quad;\quad a\ne0$$Die einfachste Wahl ist vermutlich \(a=1\):$$p_3(x)=x^3-5x^2+5x+3\quad\text{für}\quad a=1$$

Comments

Wir suchen nun ein weiteres Polynom, diesmal von 3-ter Ordnung, mit denselben Stützstellen

Ein solches lässt sich unmittelbar bestimmen: \(p_3(x)=p_2(x)+x(x-1)(x-2)\).