Question

Was ist die lokale Extremstelle von 4ln(x)/x?

Die kritische Stelle ist x=e

Mit dem Vorzeichenwechselkriterium habe ich überprüft dass es extremstellen gibt. Stimmt es dass die bei f(e)=1,47 liegt?

Answer 1

Aloha :)$$f'(x)=\left(4\,\frac{\ln x}{x}\right)'=4\,\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2}=4\,\frac{1-\ln x}{x^2}$$Die kritische Stelle ist \(x=e\), das ist korrekt.$$f''(x)=\left(4\,\frac{1-\ln x}{x^2}\right)'=4\,\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\ln x)2x}{x^4}=4\,\frac{-x-2x+2x\ln x}{x^4}$$$$\phantom{f''(x)}=\frac{4(2\ln x-3 x)}{x^3}\quad\Rightarrow\quad f''(e)=\frac{4(2-3e)}{e^3}<0$$Bei \(x=e\) liegt mit \(f(e)=\frac{4}{e}\approx1,4715\) also ein Maximum vor.

Comments

ob es ein Maximum oder Minimum ist hast du ja mit der 2.Ableitung überprüft. wie kann man das denn mit dem Vorzeichenwechselkriterium überprüfen? wenn ich z.B. nicht die 2.Ableitung bilden kann/will.

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Im Ableitungsterm$$f'(x)=4\,\frac{1-\ln x}{x^2}$$ist der Nenner, wegen \(x^2>0\) immer positiv. Das Vorzeichen der Ableitung hängt also nur vom Zähler ab.

Für \(x<e\) gilt:$$\ln x<\ln e=1\quad\Rightarrow\quad-\ln x>-1\quad\Rightarrow\quad1-\ln x>0$$Für \(x>e\) gilt:$$\ln x>\ln e=1\quad\Rightarrow\quad-\ln x<-1\quad\Rightarrow\quad1-\ln x<0$$Bei \(x=e\) wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen. Für \(x<e\) steigt die Funktion an, für \(x>e\) fällt sie ab. Also liegt bei \(x=e\) ein Maximum.

Answer 2

Hallo,

Es liegt ein Maximum im Punkt (e/1.4715) vor.