Wie heißt die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4.Grades, die an der Stelle \(x_s= 0\) einen Sattelpunkt und an der Stelle \(x_e=2\) eine lokale Extremstelle hat? Außerdem hat diese Funktion im Punkt P\(( 1|-0,5)\) eine Tangente mit dem Anstieg \(m=-6\)
an der Stelle \(x_s= 0\) einen Sattelpunkt:
\(f(x)=ax^3(x-N)=a(x^4-Nx^3)\)
\(f'(x)=a(4x^3-3Nx^2)\)
an der Stelle \(x_e=2\) eine lokale Extremstelle:
\(f'(2)=a(32-12N)=0\)
\(N=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}\):
\(f'(x)=a(4x^3-8x^2)\)
im Punkt P\(( 1|...)\) eine Tangente mit dem Anstieg \(m=-6\):
\(f'(1)=a(4-8)=-4a=-6\)
\(a=\frac{3}{2}\):
\(f(x)=\frac{3}{2}(x^4-\frac{8}{3}x^3)\)
Jetzt sind fast alle Daten verarbeitet. Nun soll der Graph aber durch den Punkt P\(( 1|\green{-0,5})\) gehen. Das ist bisher aber nicht der Fall.
\(f(1)=\frac{3}{2}(1-\frac{8}{3})=\red{-2,5}\) Somit muss der Graph um 2 Einheiten nach oben verschoben werden:
\(p(x)=\frac{3}{2}(x^4-\frac{8}{3}x^3)+2\)
In der Zeichnung sind nun 2 Graphen, um meine Vorgehensweise zu veranschaulichen:
