Funktionsgleichung falsch? Polynom 3. Grades mit Sattelpunkt S(2|8) .

Question

Ich habe  die Gleichung einer kubischen Funktion, die durch den Koordinatenursprung geht und in S(2/8) einen Sattelpunkt hat. Bis jetzt bin ich so vorgegangen :

Ich habe S(2/8) in die Gleichung 3 Grades eingesetzt, in die 1 und 2 Ableitung von ebenfalls der Gleichung,
rausgekommen ist:

1] 8a+4b+2c+d=8

2] 12a+4b+c=0

3] 12+2b=0

und für die 4 , habe ich 0 engesetzt da es durch den ursprung geht also kommt raus:

4] d=0

somit habe ich 4 Gleichungen, die ich mittels Additionsverfahren lösen soll

Die Antwort kommt raus angeblich: f(x)=x³-6*x²+12x

jedoch nicht bei mir, was mache ich falsch ?

bei mir kommt bei a=0 raus, b=0 ...

ich habe zuerst d in die 1 Gleichung eingesetzt, somit habe ich 8a+4b+2c=0

Diese stelle ich mit der 2 Gleichung zusammen, aber multipliziere bede Seiten erst mit -2 um das c wegzubekommen.. kommt raus -16a-4b=0
dieses wiederum mit der 3 Gleichung adddiert aber davor *2 , kommt eben 8a=0 .. also a=0 heraus?

Answer 1

Hi!

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f '(x)=3ax²+2bx+c

f ''(x)=6ax+2b

f(0)=0

f(2)=8

Kriterien für einen Sattelpunkt:

• f'(x) = 0
• f''(x) = 0
• f'''(x) ≠ 0

also:f '(2)=0

f ''(2)=0

Damit haben wir 4 Bedingungen und stellen das LGS auf:

d=0                              

8a+4b+2c=8                              

12a+4b+c=0                         

12a+2b=0                            .

Wir lösen das LGS und erhalten:                                     

a=1   b= -6   c=12  d=0                                      

Die Funktionsgleichung ist also:f (x)=x³-6x²+12x

~plot~ x^3-6x^2+12x;[[ -2 | 9| -2 | 16 ]] ~plot~

Comments

wie komme ich darauf, wie gehe ich da vor damit das auch so rauskommt ? ich verstehe das nicht :(
aber danke bisher :)

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Hab ich das nicht gut genug erklärt?

Wo bist du dir unsicher oder machst Fehler?

Was an meiner Lösung verstehst du nicht?

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Wenn ich diese 4 Gleichungen mit dem Additionsverahren löse, krieg ich eben was ganz anderes raus, und anders kann ichs nicht, deswegen fällt es mir schwer.
Ansonsten find ich die Erklärung gut, nur die Zwischenschritte wären mir lieb, damit ich sehe wie man da vorgeht

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Was ist denn eine apfelratte? Gibt's die wirklich? Also als Tier? 

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nein leider, mir fehlt es an usernames, lustiger Einfall hm ?

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Ich finde das klingt lustig. Wenngleich ich nicht der Ratten größter Fan bin. Die haben einige unschöne Eigenschaften. 

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Achso!

Naja Genau genommen hast du ja nur drei Gleichungen mit drei Unbekannten, da d=0.

Ich würde dir bei einem solchen LGS nicht die Lösung mit dem Additionsverfahren empfehlen, da das ganze sehr unübersichtlich wird.

Das kannst du auch mit Gauss lösen: 

https://www.matheretter.de/wiki/gaussverfahren

Wird da sehr einfach erklärt.

Willst du das trotzdem mit dem Additionsverfahren lösen, so schreib mir nochmal

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super vielen lieben dank !

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Hallo Kofi,

Ich finde das klingt lustig. Wenngleich ich nicht der Ratten größter Fan bin.
Die haben einige unschöne Eigenschaften.

Ratten sind Nagetiere wie Hamster, Mäuse, Meerschweine usw.
Nicht besser oder schlechter.

Ratten und Mäuse haben nur deshalb einen schlechten Ruf weil sie den
Bauern und der Stadtbevölkerung im Mittelalter die Vorräte weggegessen
haben.

Zudem halten Ratten sich auch in dreckigem Milieu ( Kanalisation ) auf.

Ansonsten kann man Ratten auch im Zimmer halten.

Am gefälligsten sind  wohl die weißen ( Labor- ) Ratten.

Ich selbst hatte auch einmal Ratten im Haus die ich mit Lebendfallen
( bin Tierfreund ) gefangen habe und in 1 km Entfernung wieder ausgesetzt
habe. Die Entfernung muß sein sonst finden die Ratenn wieder zurück.

mfg Georg

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Hallo Georg, 

Rattenbefall ist eine üble Sache. Wenn du sie so einfach wieder losgeworden bist, hast du Glück gehabt. Ich kenne einen Fall, wo das seit Monaten nicht so einfach gelingt. Ratten sind sehr intelligent. Deutlich cleverer als Hamster oder Meerschweinchen. Ihr sozialen Strukturen sind sehr ausgefeilt so dass man sie mit einfachen Maßnahmen nicht immer beseitigen kann, da sie miteinander kommunizieren. Darüber hinaus "gewöhnen" sie sich sehr schnell an Maßnahmen die man ergreift um sie zu vergrämen. Also ich kann diesen Tieren nicht ganz so viel positives abgewinnen.

Und damit wir uns nicht falsch verstehen, ich bin auch tierfreund.

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Ich war zunächst überrascht Ratten bei mir im Keller vorzufinden
konnte diese aber nach monatelangem Kampf aus dem Keller entfernen.

Das wichtigste war herauszufinden : wie kommen die entfernten Ratten
immer wieder in den Keller ?
Im Keller wurde der Boden leicht mit Mehl bestäubt sodass ich Fußspuren
feststellen konnte.
Es war ein Hohlraum neben einem Abwasserrohr.
Nachdem der Hohlraum versperrt wurde hatte ich Ruhe.

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eine Frage fällt mir da noch ein,

wie erkenne ich an einem Graphen, welchen Grad ein Polynom hat?

Wenn ich eine Gleihung habe wie f(x)=ax³+bx²+cx+d , da weiß cih es ja da das ax³ , ein polynom dritten Grades ist, aber aneinem graphen ?

zb bei dem oberen ?

ich dachte man erkennt es an den Nullpunkten, aber bei dem Sattelpunktbeispiel ist es eben der fall, dass es nur 1 hat

RATTEN SIND TOLL übrigens :D
Das stimmt, die haben einen schlechten Ruf wegen dem Wohnort ect. klug sind die sehr, und ich finde nicht, dass sie nicht lieb sind, Hamster, Mäuse, Meerschweinchen, alles liebe Nagetiere. Ich glaube kaum, dass wenn eine Ratte einen Menschen sieht, auf den zuläuft und beißt, höchstens der Mensch ist Tot aber das würde jedes Hungrige Wesen machen :P  (ausgeschlossen Menschen, naja Canibale evtl  )

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Ratten sind, wie alle Tiere, zur eigenen Lebenserhaltung praktisch ( immer )
auf Futtersuche

Der Mensch ist kein Futter für die Ratten.

Eine Ratte hat daher keinerlei Interesse einen Menschen anzufallen.
Wozu ?

Zu Graphen. Ist der Graph

- eine Gerade : Funktion 1.Ordnung
- hat einen Extrempunkt ( Hoch- oder Tiefpunkt ) : Funktion 2 Grades
- hat einen Wendepunkt : Funktion 3 Grades

Am besten du schaust einmal in einem Mathebuch nach.
Dort ist sicher alles fein säuberlich beschrieben.
Mit allen Variationen, Anzahl der Nullstellen usw.

Answer 2

1] 8a+4b+2c+d=8 

2]12a+4b+c=0 

3]12+2b=0

und für die 4 , habe ich 0 engesetzt da es durch den ursprung geht also kommt raus: 

4]d=0 

3) 2b = -12, b = -6 

Daher neu

1] 8a - 24 +2c+0 =8 

2]12a -24 +c=0 

1] 8a  +2c  =32 

1)' 4a + c = 16

2]12a  +c= 24

-------------------- 2) - 1)'

8a = 8 ==> a=1

1)' 4*1 + c = 16

c = 12 

Comments

Hi Lu!

Wo ist denn in dieser Gleichung 3 zu Anfang das a?

Die Bedingung ist ja f ''(2)=0 und bringt die Gleichung:

12a+2b=0   hervor.

Daraus folgt: 

12a+2b=0

2b=-12a

b= -6a

Bei dir aber :

3) 2b = -12, b = -6 

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Ich habe die Gleichungen des Gastes aufgelöst und komme auf die gleiche Lösung, wie der Gast wollte. 

Ob die Gleichungen stimmen, habe ich nicht geprüft. 

Answer 3

Ich habe  die Gleichung einer kubischen Funktion, die durch den Koordinatenursprung geht und in S(2/8) einen Sattelpunkt hat

Denke dir die Funktion verschoben also Sattelpunkt im Ursprung und die Funktion geht durch (-2 | -8)

Dann lautet die Funktion

f1(x) = x^3

Die brauchst du nur um 2 nach rechts und 8 nach oben zu verschieben

f(x) = (x - 2)^3 + 8

Das ist denke ich mit die einfachste Art eine Funktion dieser Art aufzustellen.

Answer 4

Ich habe die Gleichung einer kubischen Funktion, die durch den Koordinatenursprung geht und in S\((2|8)\) einen Sattelpunkt hat.

S\((2|8)\)→ S´\((2|0)\) Dreifachnullstelle:

\(f(x)=a(x-2)^3\)

Ursprung U\((0|0)\) → U´\((0|-8)\):

\(f(0)=a(0-2)^3=-8a=-8\)

\(a=1\)

\(f(x)=(x-2)^3\)

\(8\) Einheiten nach oben:

\(p(x)=(x-2)^3+8\)