Bestimmung einer Funktion mit Sattelpunkt S(2|4)

Question

ich brauche Hilfe zu meiner Hausaufgabe, die ich noch nicht so ganz verstehe.

Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems und hat in S(2|4) einen Sattelpunkt.

Ist meine Losung richtig?

P.s. ich bin soweit gekommen(s. Foto)

Answer 1

Irgendetwas stimmt am Schluss nicht.

Du hast

~plot~ -x^3 + 2x^2;{2|4} ;[[-6|6|-3|7]] ~plot~

S liegt gar nicht auf dem Graphen.

Passt vielleicht

~plot~ -x^3 + 3x^2;{2|4} ;[[-6|6|-3|7]] ~plot~

zur Fragestellung?

Auch nicht ! S ist ein Hochpunkt und kein Sattelpunkt.

Comments

Hier ist die Aufgabenstellung

Answer 2

Dein Ansatz,deine Ableitungen und dein LGS sind offenbar richtig. Aber dann folgt ein Fehler.

Answer 3

ein geeigneterer Ansatz ist

f(x)=a(x-2)^3+4

Dann hast du schon mal den Sattelpunkt.

Mit f(0)=0 hat man als Zusatz Bedingung

0=a*(-2)^3+4

8a=4

a=1/2

Answer 4

   Nur alternativ. Was man auch machen könnte; ===>  Taylorentwicklung.  Falls du das Wort noch nie gehört haben solltest; es ist wirklich nix Böses.  Überzeuge dich zunächst, dass für jedes kubistische Polynom gilt

   f  (  x  )  =  f  (  0  )  +  x  f  '  (  0  )  +  1/2  x  ²  f  "  (  0  )  +    ( 1 / 6 ! )  f(³)  x  ³      (  1  )

    Der Vorteil dieser Taylordarstellung;  sie erlaubt dir, den Nullpunkt deines Koordinatensystems zu verschieben. weil es ist doch dem Polynom egal, ob du es um x = 0 oder um x0 = 2 entwickelst. ( Duwirst viel flexibler. )

    f  (  x0  +  h  )  =  f  (  x0  )  +  h  f  '  (  x0  )  +  1/2  h  ²  f  "  (  x0  )  +  a3  h  ³    (  2a  )

        mit

         h  :=  x  -  x0       (  2b  )

     Dabei stellt sich der ===>  Leitkoeffizient a3 als unabhängig vom Entwicklungspunkt heraus; überlege.     Wenn wir jetzt setzen x0 = 2 , dann gilt in ( 2a ) ganz speziell

            f  (  x0  )  =  4  ;  f  '  (  x0  )  =  f  "  (  x0  )  =  0      (  3a  )

       f  (  x0  +  h  )  =  4  +  a3  h  ³      (  3b  )

   weil ich agiere wie ein Fußballtrainer oder Schachgroßmeister. Meine Devise lautet: So wenig Unbekannte wie möglich; eine Schulaufgabe sollte mit zwei Unbekannten auskommen. Und hier haben wir bloß eine.

   Und gleich einem Schachspiel folgt meine Strategie immer dem Grundsatz: Der Feind wählt von zwei Alternativenn immer die dritte.

    Jetzt hast du eine Nullstelle bei x = 0, entsprechend h = ( - 2 )  In ( 3b ) ergibt das

          4  -  8  a3  =  0   ===>  a3  =  1/2     (  4a  )

      f  (  x0  +  h  )  =  1/2  h  ³  +  4      (  4b  )

    (  Überleg dir mal, wie ein kubisches Polynom mit ===>  Terrassenpunkt aussieht; da gibt es nicht allzu viele Möglichkeiten. )

   ( Nur falls Interesse besteht; ein ===> Sattelpunkt ist  etwas total anderes als ein Terrassenpunkt; wie du aus der Praxis sicher weißt, ist ein Sattel eine mindestens zweidimensionale Fläche und keine eindimensionale Kurve. )

    Was wir jetzt noch müssen; die Entwicklungskoeffizienten für x = 0 ausrechnen  in ( 1 )  Was ich  also auf der einen Seite gespart habe an Unbekannten, das holt mich jetzt in Form lästiger Routine wieder ein.

    a0  =  f ( 0 ) = 0 war Bedingung - geschenkt.  Jetzt die erste Ableitung   von  (  4b  )

     f  '  (  h  )  =  3/2  h  ²  ===>  a1  =  f  '  (  h  =  -  2  )  =  6        (  5a  )

    1/2  f  "  (  h  )  =  3/2  h  ===>  a2  =  (  -  3  )       (  5b  )

    a3 hatten wir ja schon  in ( 4a ) mit  1/2  , so dass

     f  (  x  )  =  1/2  x  ³  -  3  x  ²  +  6  x      (  5c  )