Funktion auf Invertierbarkeit untersuchen

Question

Ich hab so einige Schwierigkeiten mit der Injektivität, Subjektivität und Bijektivität.

Deshalb wollte ich mal fragen, wie man am besten vorgeht um folgende Funktion auf Invertierbarkeit zu überprüfen und ob es eine eine allgemeine Vorgehensweise gibt, mit der man alle Funktion (oder die meisten) auf Injektivität, Subjektivität und Bijektivität überprüfen kann.

Danke :)

$$f \, :\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ mit $$f(x)=\frac{1}{4}(e^{2x}+e^{-2x})$$

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen folgende Funktion auf Invertierbarkeit untersuchen:$$f:\mathbb R\to\mathbb R\,,\,x\mapsto\frac{e^{2x}+e^{-2x}}{4}$$Damit eine Funktion invertierbar ist, muss sie surjektiv und injektiv sein.

a) Surjektivität

Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Da die \(e\)-Funktion immer positiv ist, ist \(f(x)>0\) für alle \(x\in\mathbb R\). Daher kann z.B. das Element \(-1\) aus der Zielmenge \(\mathbb R\) nicht erreicht werden. Die Funktion ist nicht surjektiv.

b) Injektivität

Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Wegen$$f(1)=\frac{e^2+e^{-2}}{4}=\frac{e^{-2}+e^2}{4}=f(-1)$$wird das Element \(\frac{e^2+e^{-2}}{4}\) der Zielmenge 2-mal erreicht, nämlich für \(x=1\) und für \(x=-1\). Daher ist die Funktion nicht injektiv.

Die Funktion ist also weder surjektiv noch injektiv und damit auch nicht invertierbar.

Answer 2

Eine Funktion ist invertierbar, wenn sie bijektiv ist. Die Definitionen für injektiv, surjektiv, bijektiv sind bekannt?

EIn Blick auf den Graphen der Funktion zeigt einem das sie weder injektiv noch surjektiv ist, also auch nicht bijektiv.

1. Die Funktion ist immer > 0, also nicht surjektiv

2. Mit der Substitution \( z = e^{ 2x } \) erhält man eine quadratische Gleichung für eine beliebigen Wert von \( y \) der \( \frac{1}{4} \left( e^{2x} + e^{-2x} \right) = y \) erfüllt. Also ist die Funktion nicht injektiv.

Comments

Erst einmal vielen dank für deine Antwort!

Die Definitionen sind mir bekannt, jedoch kann ich sie auf Funktionen nicht so wirklich anwenden, wenn ich diese nicht als Graphen vor mir habe.

Wie erhält man denn durch die Substitution von $$z=e^{2x}$$ eine quadratische Gleichung?

Man hätte so doch: $$y=\frac{1}{4}\bigl(z+e^{-2x}\bigr)$$ Das verstehe ich nicht so ganz..

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y = 1/4 * (e^(2x) + e^(-2x))

y = 1/4 * (e^(2x) + 1/e^(2x))

Subst. e^(2x) = z

y = 1/4 * (z + 1/z)

4yz = z^2 + 1

Aber vielleicht weißt du auch das deine Funktion einfacher geschrieben werden kann als

y = 1/2·COSH(2·x)

Und eigentlich sollte dieses als Kettenlinie bekannt sein.