Substitutionsregel ∫ [0, a] sin(1/8x - π/2)dx

Question

\( \int\limits_{0}^{a} \) sin(\( \frac{1}{8} \)x⁻₋ − \( \frac{π}{2} \))dx

1. \( \frac{1}{8} \)x⁻₋ − \( \frac{π}{2} \) durch y ersetzen

2. y' = \( \frac{dy}{dx} \) = \( \frac{1}{8} \)

3. dy = \( \frac{1}{8} \) dx ↔ dx = 8dy

= \( \int\limits_{y(0)}^{y(a)} \) sin(y)dx

= \( \int\limits_{0}^{\frac{a}{8}} \) sin(y)8dy

= [-8cos(y) + c]^a/8₀

= -8cos(a/8)

Lösung müsste jedoch lauten:

= -8sin(a/8)

Wo habe ich einen Fehler gemacht?

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_0^a\sin\left(\frac{x}{8}-\frac{\pi}{2}\right)\,dx$$Substituiere wie folgt:$$y:=\frac{x}{8}-\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{8}\quad;\quad y(0)=-\frac{\pi}{2}\quad;\quad y(a)=\frac{a}{8}-\frac{\pi}{2}$$Deine Integrationsgrenzen \(y(0)\) und \(y(a)\) sind falsch.

$$I=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{a}{8}-\frac{\pi}{2}}\sin(y)\cdot8\,dy=8\left[-\cos(y)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{a}{8}-\frac{\pi}{2}}=-8\underbrace{\cos\left(\frac{a}{8}-\frac{\pi}{2}\right)}_{=\sin\left(\frac{a}{8}\right)}+8\underbrace{\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)}_{=0}$$$$\phantom{I}=-8\sin\left(\frac{a}{8}\right)$$

Comments

Vielen Dank!

Fragen:

1. Warum wird 8cos(-/2) Null?

2. Warum wird bei -8cos(a/8 - /2) -/2 auch Null?

3. Und warum wird cos in sin umgerechnet? Darf man einfach cos mit sin tauschen? Oder wird da wieder die Stammfunktion von cos gebildet (=sin), wenn ja, weshalb denn doppelt? Wäre nicht demnach -8cos(a/8) trotzdem das richtige Ergebnis?

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1) Das kannst du mit dem Taschenrechner nachprüfen:$$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0$$

2) Der Cosinus hat seinen Namen daher, dass sein Argument der Complementär-Winkel des Sinus ist, das heißt es gilt immer:$$\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$$

3) Nachdem wir die Regel aus (2) angewendet haben, bleibt nur noch der Sinus übrig.

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1) Der Wert liegt bei mir bei 0,999... nahezu 1?

2) D.h. die x-unabhängigen Werte fallen im sin weg?

Danke für deine schnelle Antwort!

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1) Du hast den Taschenrechner auf Grad \(\boxed{\text{DEG}}\) eingestellt. Wenn du ihn auf das Bogenmaß \(\boxed{\text{RAD}}\) umstellst, kommt das Richtige heraus.

2) Nicht ganz. Der Sinus und der Cosinus sind um \(\frac{\pi}{2}\) gegeneinander verschoben, deswegen geht \(\cos(\frac{a}{8}-\frac{\pi}{2})\) in \(\sin(\frac{a}{8})\) über.