Newtonsche Interpolation mit einer Variablen, damit bestimmte Funktion erfüllt ist

Question

Hej, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Gegeben seine die Wertepaare

xi	3	4	5	6
yi	α	2	-1	-14

mit αeR. Berechnen Sie αeR, so dass die Funktion f stetig ist.

f(x) = p(x) für xe ]-∞, 2] und q(x) für xe ]2, ∞[ 

p(x) ist das Polynom aus Aufgabenteil a welches so aussieht:

p = -2-2(x+2)+2(x+2)(x+1)-1(x+2)(x+1)(x-1)

Wie man das Interpolationspolynom aufstellt weiß ich, wie ich jetzt aber α berechnen soll weiß ich leider nicht.

Vielen Dank für die Antworten

Comments

Was soll \( q(x) \) sein?

Das Polynom \( p(x) \) ist aber nicht das Newtonpoynom zu Deinen Angaben von \( x \) und \( y \)

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q(x) soll das Polynom aus den gezeigten Wertepaaren sein.

p(x) passt nicht zu den Angaben, da es aus dem ersten Aufgabenteil ist und von anderen Wertepaaren stammt.

Answer 1

Das Polynom \( Q(x) \) hat die folgende Form $$ Q(x) = \sum_{i=0}^n c_i \prod_{j=0}^{i-1} (x-x_J) $$ mit $$ c = \begin{pmatrix} \alpha \\ 2-\alpha \\ \frac{\alpha}{2}-\frac{5}{2} \\ -\frac{\alpha}{6}-\frac{5}{6} \end{pmatrix} $$

Aus \( Q(2) = P(2) \) ergibt sich \( \alpha = 1 \)

Comments

Ich hab hier noch eine rechen Fehler drin. Korrigiere gleich.

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Super danke! Beim Polynom hab ich das gleiche raus.

Ich hätte aber noch ein paar Fragen, ob ich das richtig verstanden habe.

Warum muss P(2)=Q(2) sein? Also warum grade 2? Wegen den Funktionsgrenzen?

Und auf α kommt man, indem man beide Funktionen gleichsetzt und nach α auflöst, oder?

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Es ist \( P(2) = 2 \) und wegen der Stetigkeit an der Stelle \( x = 2 \) ergibt sich \( Q(2) = P(2) \). Daraus kannst Du \( \alpha \) bestimmen.