Konvergiert das uneigentliche Integral? ∫ [0,∞] (2x² − 4x + 9)e^(-x/2) dx

Question

Konvergiert das uneigentliche Integral?

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) (2x² − 4x + 9)e^-x/2 dx

1. Zur Konvergenz: Grenzwert berechnen? (Soll 30 sein, aber wie berechnet man diesen?)

2. Integral berechnen? Durch partielle Integration?

2. Partielle Integration:

f(x) = (2x² − 4x + 9)

g(x) = e^-x/2

I = ∫ f'(x) * g(x) + ∫ f(x) * g'(x)

= \( \int\limits_{0}^{\infty} \) (4x − 4) * (e^-x/2) + \( \int\limits_{0}^{\infty} \) (2x² − 4x + 9) * (-\( \frac{e^{-x/2}}{2} \))

oder:

I = [f(x) * g(x)]^∞₀ − ∫ f'(x) * g(x)

= [(2x² − 4x + 9)e^-x/2]^∞₀ − ∫ (4x − 4) * (e^-x/2)

Answer 1

Partielle Integration ist ein geeigneter Ansatz.

Deine zweite Rechnung trifft eher das Wesen von partieller Integration, aber du hast nicht genau genug darauf geachtet, wo in der Formel f, f', g und g' vorkommen:

\(\int f'g = fg - \int fg'\).

Wähle

        \(g(x) = 2x^2 − 4x + 9\)

und

        \(f'(x) = e^{-\frac{x}{2}}\).

Weil im Restintegral \(g'\) vorkommt, reduziert sich gegenüber dem ursprünglichen Integral der Grad des ganzrationalen Teils.

Das Restintegral wird dann nach dem gleichen Muster mit partieller Integration bestimmt. In dem zweiten Restintegral besteht der ganzrationale Teil dann nur noch aus einer Konstanten.

Answer 2

Hallo,

Konvergiert das uneigentliche Integral? JA

1. Zur Konvergenz: Grenzwert berechnen? (Soll 30 sein, aber wie berechnet man diesen?)

30 ist falsch , 34 ist die Lösung

2. Integral berechnen? Durch partielle Integration?

JA , 2mal anwenden