Bei welchen der folgenden Teilmengen handelt es sich um Untervektorräume?

Question

Aufgabe:

Bei welchen der folgenden Teilmengen handelt es sich um
Untervektorräume? Begründen Sie jeweils Ihre Behauptung.
(a) A = {x∈R³ : 3x₁ − 4x₂ = 1}
(b) B = {x∈R² : x₁ · x₂ = 0}
(c) C = {x∈2R² : x₁ = −x₂}
(d) D = {x∈Rⁿ : Ax = 0} mit einer Matrix A∈R^mxn.

Problem/Ansatz:

Ich tue mir mit bestimmen von Untervektorräumen recht schwer, obwohl ich eigentlich denke des es recht leicht ist, da man ja im Regelfall "nur" 3 Kriterien prüfen muss (0 Vektor im Untervektorraum bzw, nicht leer, Addition und Skalarmultiplikation müssen abgeschlossen sein).

Answer 1

(a) A = {x∈R3 : 3x1 − 4x2 = 1}

nein, 0 nicht enthalten

(b) B = {x∈R2 : x1 · x2 = 0}

nein, (0,1) und (1,0) enthalten, aber deren Summe nicht

(c) C = {x∈R2 : x1 = −x2}  Ja, kannst alle Kriterien prüfen

kurz etwa so: (0,0) enthalten, da 0 = -0 .

wenn zwei in C sind, etwa (x,-x) und (y,-y) dann auch deren Summe,

da   x+y = - ( -x+(-y))  und auch c*(x,-x) = (cx, -cx) enthalten.

(d) D = {x∈Rn : Ax = 0} mit einer Matrix A∈Rmxn. Ja, kannst alle Kriterien prüfen.