Taylorpolynom zweiten Grades bestimmen f(x,y)

Question

Aufgabe und Lösung (Aufgabenteil (a)):

Text erkannt:

Aufgabe G3 (Taylorpolynom I) Sei
$$ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=(2 x+y)^{2}-4 x\left(x-\frac{1}{2}\right)-y(y+1)+9 $$
(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von \( f \) in \( (1,1)^{T} \).
(b) Schätzen Sie den Wert von \( f \) für \( x=(2,0)^{T} \) und bestimmen Sie den Fehlerterm. Was fällt Ihnen dabei auf? Begrunden Sie Ihre Beobachtung.
Lösungshinweise:
(a) Gesucht ist
$$ T_{2, f}\left((x, y)^{T},(1,1)^{T}\right)=f(1,1)+\nabla f(1,1)\left((x, y)^{T}-(1,1)^{T}\right)+\frac{1}{2}\left((x, y)^{T}-(1,1)^{T}\right)^{T} H_{f}(1,1)\left((x, y)^{T}-(1,1)^{T}\right) $$
Wir haben
$$ \nabla f(x, y)=(4 y+2,4 x-1)^{T}, \quad H_{f}(x, y)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{array}\right) $$
somit ist
$$ \nabla f(1,1)=(6,3)^{T}, \quad H_{f}(1,1)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{array}\right) $$
Also gilt
$$ T_{2, f}\left((x, y)^{T},(1,1)^{T}\right)=4 x y+2 x-y+9=f(x, y) $$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den allerletzten Schritt nicht. Wie man auf die Hessematrix und ∇ f(1,1) kommt versteh ich. Allerdings davon dann auf T2,f((x,y)^T, (1,1)^R) = 4xy + 2x - y + 9 zu kommen ist mir schleierhaft :(

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank!!

Answer 1

Aloha :)

Im letzten Schritt wurden die zuvor ermittelten Größen in die Taylor-Formel eingesetzt:$$T_{2;f;(1;1)}(x;y)=f(1;1)+\nabla f(1;1)\binom{x-1}{y-1}+\frac{1}{2}\binom{x-1}{y-1}\,H_f(1;1)\,\binom{x-1}{y-1}$$$$\phantom{T_{2;f;(1;1)}(x;y)}=14+\binom{6}{3}\binom{x-1}{y-1}+\frac{1}{2}\binom{x-1}{y-1}\begin{pmatrix}0 & 4\\4 & 0\end{pmatrix}\binom{x-1}{y-1}$$$$\phantom{T_{2;f;(1;1)}(x;y)}=14+6(x-1)+3(y-1)+\frac{1}{2}\binom{x-1}{y-1}\binom{4(y-1)}{4(x-1)}$$$$\phantom{T_{2;f;(1;1)}(x;y)}=14+6(x-1)+3(y-1)+2(x-1)(y-1)+2(y-1)(x-1)$$$$\phantom{T_{2;f;(1;1)}(x;y)}=14+6(x-1)+3(y-1)+4(xy-y-x+1)$$$$\phantom{T_{2;f;(1;1)}(x;y)}=4xy+2x-y+9$$

Comments

Top! Perfekt gezeigt, schon verstanden, danke!

Kleinigkeit noch.. von der 4. letzten auf die 3. letzte Zeile hast du welche Rechenregel benutzt?

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Mir ist nicht genau klar, welche Stelle du meinst. Ich vermute mal, es geht um die Matrix- bzw. Vektoroperationen:$$=14+\binom{6}{3}\binom{x-1}{y-1}+\frac{1}{2}\binom{x-1}{y-1}\begin{pmatrix}0 & 4\\4 & 0\end{pmatrix}\binom{x-1}{y-1}$$Hier habe ich die Hesse-Matrix mit dem Vektor rechts daneben multipliziert, das Ergebnis ist ein Vektor:$$\begin{pmatrix}0 & 4\\4 & 0\end{pmatrix}\binom{x-1}{y-1}=\binom{4(y-1)}{4(x-1)}$$Im nächsten Schritt habe ich dann die Skalar-Multiplikation ausgeführt:$$\frac{1}{2}\binom{x-1}{y-1}\binom{4(y-1)}{4(x-1)}=2(x-1)(y-1)+2(y-1)(x-1)$$