Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Zuerst brauchen wir alle partiellen Ableitungen der Funktion bis zur 2-ten Ordnung:$$f(x;y)=\frac{x-y}{x+y}\implies f(1;1)=0$$$$\partial_xf(x;y)=\frac{(x+y)-(x-y)}{(x+y)^2}=\frac{2y}{(x+y)^2}\implies\partial_xf(1;1)=\frac12$$$$\partial_yf(x;y)=\frac{-(x+y)-(x-y)}{(x+y)^2}=\frac{-2x}{(x+y)^2}\implies\partial_yf(1;1)=-\frac12$$$$\partial_{xx}f(x;y)=\frac{-2y\,2(x+y)}{(x+y)^4}=\frac{-4y}{(x+y)^3}\implies\partial_{xx}f(1;1)=-\frac12$$$$\partial_{yx}f(x;y)=\frac{2(x+y)^2-2y\,2(x+y)}{(x+y)^4}=\frac{2(x-y)}{(x+y)^3}\implies\partial_{yx}f(1;1)=0$$$$\partial_{xy}f(x;y)=\frac{-2(x+y)^2+2x\,2(x+y)}{(x+y)^4}=\frac{2(x-y)}{(x+y)^3}\implies\partial_{xy}f(1;1)=0$$$$\partial_{yy}f(x;y)=\frac{2x\,2(x+y)}{(x+y)^4}=\frac{4x}{(x+y)^3}\implies\partial_{yy}f(1;1)=\frac12$$
Das setzen wir nun in die Taylorreihe bis zur 2-ten Ordnung ein:$$f(x;y)=\underbrace{f(1;1)}_{=0}+\underbrace{\partial_xf(1;1)}_{=1/2}\cdot(x-1)+\underbrace{\partial_yf(1;1)}_{=-1/2}\cdot(y-1)$$$$\phantom{f(x;y)}+\frac12\,\underbrace{\partial_{xx}f(1;1)}_{=-1/2}\cdot(x-1)^2+\frac12\,\underbrace{\partial_{xy}(1;1)}_{=0}\cdot(x-1)(y-1)$$$$\phantom{f(x;y)}+\frac12\,\underbrace{\partial_{yx}(1;1)}_{=0}\cdot(y-1)(x-1)+\frac12\,\underbrace{\partial_{yy}f(x;y)}_{=1/2}\cdot(y-1)^2$$$$\phantom{f(x;y)}=\frac12(x-1)-\frac12(y-1)-\frac14(x-1)^2+\frac14(y-1)^2$$$$\phantom{f(x;y)}=\frac x2-\frac12-\frac y2+\frac12-\frac{x^2}{4}+\frac x2-\frac14+\frac{y^2}{4}-\frac y2+\frac14$$$$\phantom{f(x;y)}=x-y-\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=x-y-\frac{x^2-y^2}{4}$$
