Steckbriefaufgabe mir Extremwert und Tangente

Question

Aufgabe:Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x) derjenigen Quadratischen Funktion, ...

..deren Graph an der Stelle 3/4 einen Extremwert besitzt und deren Tangente im Kurvenpunkt (1| 4) zu der durch die Gleichung g : y = 4x gegebenen Geraden g parallel verläuft.

Kann mir das vielleicht jemand vorrechnen leider verstehe ich die Erklärung meines mathe Lehrers zu dieser Thematik nicht, kann mir gegebenenfalls auch jemand das während der Rechnung erklären?

Answer 1

Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x) derjenigen Quadratischen Funktion, ...

..deren Graph an der Stelle 3/4 einen Extremwert besitzt und deren Tangente im Kurvenpunkt (1| 4) zu der durch die Gleichung g : y = 4x gegebenen Geraden g parallel verläuft.

Nutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Kontrolle

Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x) derjenigen Quadratischen Funktion

f(x) = ax^2 + bx + c

an der Stelle 3/4 einen Extremwert

f'(3/4) = 0 --> 3/2·a + b = 0

Kurvenpunkt (1| 4)

f(1) = 4 --> a + b + c = 4

deren Tangente im Kurvenpunkt (1| 4) zu der durch die Gleichung g : y = 4x gegebenen Geraden g parallel

f'(1) = 4 --> 2·a + b = 4

Die Lösung des Gleichungssystem ergibt folgende Funktion

f(x) = 8·x^2 - 12·x + 8

Comments

vielen Dank, es ist viel verständlicher geworden :)

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Falls du Probleme beim Lösen des Gleichungssystems haben solltest kann dir z.B. die App Photomath helfen.

a + b + c = 4

1.5·a + b = 0
2·a + b = 4

Beachte dabei das man hier zunächst das LGS aus der 2. & 3. Zeile nach a und b lösen kann um mit der ersten Gleichung dann noch c auszurechnen.

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Sehr schön!

Hast Du die 2. Ableitung um zu zeigen, dass an der Stelle x=3/4 diese nicht Null ist weggelassen ,weil a und damit auch f'(3/4)=2a nicht Null sein kann, da es dann keine Quadratische Funktion ist?

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Die hinreichende Bedingung braucht man hier nicht da eine quadratische Funktion ja eine nach oben oder unten geöffnete Parabel ist die auf jeden Fall einen Scheitelpunkt besitzt. Voraussetzung ist das a ungleich Null ist. Du siehst aber direkt an der Lösung das a ungleich Null ist.

Ich weiß, dass Lehrer meist viel Wert auf die hinreichende Bedingung legen. Das liegt aber nur daran das die den Schülern nur etwas greifbares an die Hand geben wollen um ihnen das Denken zu ersparen. Wenn man weiß wie eine quadratische Funktion ausschaut ist die hinreichende Bedingung überflüssig.

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Danke, für deine Erklärung.

Answer 2

Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x) derjenigen Quadratischen Funktion, deren Graph an der Stelle \(x= \frac{3}{4} \) einen Extremwert besitzt und deren Tangente im Kurvenpunkt \((1| \blue{4})\) zu der durch die Gleichung g : \(y = 4x\) gegebenen Geraden g parallel verläuft.

\(p(x)=a(x- \frac{3}{4})^2 \)

deren Tangente im Kurvenpunkt \((\red{1}| ...)\) zu der durch die Gleichung g : \(y = \green{4}x\) gegebenen Geraden g parallel verläuft.:

\(p'(x)=a(2x- \frac{3}{2}) \)

\(p'(\red{1})=a(2- \frac{3}{2}) \)

\(a\cdot \frac{1}{2} =\green{4} \)

\(a=8 \):

\(p(x)=8(x- \frac{3}{4})^2 \)

Diese Funktion hat an der Stelle \(x=1\) den Funktionswert

 \(p(1)=8\cdot (1- \frac{3}{4})^2=8\cdot \frac{1}{16} =0,5\)

Sie soll aber dort einen Funktionswert von \(\blue{4}\) haben, darum muss der Graph von  \(p(x)=8(x- \frac{3}{4})^2 \) um \(3,5\) Einheiten nach oben verschoben werden.

Darum erhält die Funktion den Namen \(f\) mit

\(f(x)=8(x- \frac{3}{4})^2+3,5 \)

Der Sachverhalt ist in der Zeichnung dargestellt.

Comments

Entweder nutzt man konsequent die Schreibweise \(y=...\) oder man nutzt konsequent die Schreibweise \(y(x)=...\). Eine Mischung ist schlecht.

Darum erhält die Funktion den Namen \(f(x)\) mit

Die Funktion heißt \(f\) und \(f(x)\) ist der Funktionswert an der Stelle \(x\).